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几类随机与延迟动力学系统的单步离散方法

覃婷婷  
【摘要】: 微分方程是模拟自然和工程中许多随时间演化的动力学系统的有力工具,人们常常需要通过研究微分方程的各种动力性质来认识和了解现实世界的各种现象.在实际问题中,动力学系统常常会受到随机和时滞因素的影响.因此将这些因素纳入微分方程模型中,能够更好地模拟现实动力学系统.但是,随着系统的复杂度越来越高,想要得到其显式解几乎是不可能的,对系统的动力性分析也困难重重.因此,对微分动力学系统进行数值仿真模拟,并分析数值解的收敛性和稳定性是非常有意义的.本文主要研究几类在科学和工程领域中有广泛应用的动力学系统模型,这些系统中包含了随机扰动和延迟现象.针对这些微分方程模型,提出了对其进行数值仿真的单步方法,并研究了方法的收敛性和稳定性. 在第2章中,结合分步思想和随机θ-方法,构造了求解非线性随机延迟微分方程的分步θ-方法,并在一致Lipschitz条件下证明了该方法具有0.5阶强均方收敛性. 第3章涉及同时包含随机扰动、延迟现象和代数约束的随机延迟微分代数方程(SDDAEs),研究了1-指标滞后型SDDAEs初值问题的理论解.在一致Lipschitz条件及某些假设下,证明了1-指标滞后型SDDAEs初值问题的唯一可解性. 在第4章中,针对求解1-指标滞后型SDDAEs的单步方法的一般格式,给出了方法的强收敛性判据,即当单步方法的格式满足一定条件时,p阶相容的方法是p阶均方收敛的.在此判据的指导下,构造了求解1-指标滞后型SDDAEs的0.5阶均方收敛的半隐Euler方法和分步θ-方法,以及求解半显式1-指标随机微分代数方程的0.5阶均方收敛的半隐Euler方法和分步θ-方法,1阶均方收敛的半隐Milstein方法. 第5章致力于中立型离散-分布式延迟系统的数值仿真,通过改造现有常微分方程的数值方法,并匹配以适当的数值求积公式,构造了求解中立型离散-分布式延迟系统的扩展的Rosenbrock方法,得到了方法为渐近稳定的若干判据.说明了对于满足一定条件的渐近稳定的中立型离散-分布式延迟系统,由A-稳定的经典Rosenbrock方法扩展而得的方法能保持系统本身的渐近稳定性. 在第6章中,通过将求解常微分方程的经典Runge-Kutta方法与复合求积公式相结合,提出了求解一类泛函积分微分方程的混合Runge-Kutta方法,并在非经典Lipschitz条件下,给出了方法全局和渐近稳定的若干判据.在这些判据的指导下,构造出了几种稳定且高效的混合Runge-Kutta方法. 数值试验结果证实了文中提出的各种数值方法的有效性,同时也说明了文中一系列收敛性和稳定性结论的正确性.


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