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分裂——迭代算法的理论分析及应用

吴树林  
【摘要】: 并行计算已成为当今大规模科学与工程计算的主流方法。对算法原理的理解以及对算法效率的分析是进行并行算法设计的核心。本文中,我们深入分析了5种并行算法:a)交叠Schwarz波形松弛迭代算法;b)波形松弛迭代算法;c)时间并行波形松弛迭代算法;d) Parareal算法;e)松弛Newton算法。其中,松弛Newton算法是求解大规模非线性代数系统的并行算法;波形松弛迭代算法、时间并行波形松弛迭代算法以及Parareal算法是求解大规模常微分系统的并行算法;而交叠Schwarz波形松弛迭代算法是求解偏微分方程的一种并行计算方法。这5种算法的共同点是先对某一物理量(如时间,空间,系统)做分裂,然后构造一个迭代格式,通过迭代逐次逼近原问题的解。因此,本文中我们统一地称这5种算法为分裂一迭代算法。 松弛Newton算法以及时间并行波形松弛迭代算法是我们提出的新算法,二者都是基于非常流行的波形松弛迭代算法发展而来。本文中我们将系统地阐述这两种并行算法的思想,分析算法的收敛性、收敛速度并与传统方法做了详细的比较。在系统研究前人结果的基础上,我们在波形松弛迭代算法、Parareal算法以及交叠Schwarz波形松弛迭代算法这3个领域得到了新的结果,这些结果在一定层面上丰富和发展了已有结果。对上述5种算法的理论分析(稳定性、收敛性、收敛速度)是本文的重点,同时我们用丰富的数值试验验证了理论结果。


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