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地球物理正演中的无网格法算法研究

苏洲  
【摘要】:大地电磁测深法(Magnetotellurics,MT)以岩石的电性差异为基础和前提,利用天然交变电磁场研究地球电性结构的勘探方法.由于它不用人工供电,成本低,工作方便,不受高阻层屏蔽,而且勘探深度随着电磁场的频率而异,浅可以几十米,深可达数百公里,因此受到广泛的应用. 在解决大地电磁测深法(MT)正演问题时,有限差分法和有限元法为主要的数值计算方法,但是这些问题都是基于网格的数值方法,如有限元法是将求解域剖分成有限个单元,各个单元通过网格节点连接在一起,基于网格剖分是已有的传统的数值计算方法的基本特征.尽管这些方法取得了巨大成功,但是也有其自身的局限性:1)形成FEM网格时的计算成本高,划分单元是一项十分繁琐的工作,对于复杂的三维问题,其工作量往往比有限元分析本身还大.因而不适应需要不断变动网格的情况.2)有限元(FEM)的计算精度依赖于单元剖分的形状和大小,因而不适应因大变形而发生网格畸变的情况. 产生上述问题的一个主要原因是这些方法都是基于网格剖分的基础上来建立离散系统方程的,为克服这些困难,无网格方法(Meshfree Method)作为有限元(FEM)的一种重要补充具有重要的研究意义. 无网格法(Meshfree Method)是近十年来兴起的一种数值计算方法,它是在有限元的基础上发展起来的,但是不同于有限元,无网格法的近似函数是建立在一系列离散节点上的.无网格法已在在力学、油藏渗流问题、电磁学等领域得到了广泛的研究,然而在求解地球物理正演问题中的理论和引用研究都还未出现,本文利用无网格法研究二维情况下的MT正演,用Matlab为程序编译工具.本文主要从以下几个方面做了相关研究 首先从麦克斯韦方程组出发,通过传统的变分原理推导出二维介质大地电磁(MT)边值问题所对应的积分方程.然后用一系列的离散节点离散求解区域,得到建立在离散节点上的无网格形函数,引入了移动最小二乘方法来构造形函数推导出了形函数的求取方法并结合二维大地电磁勘探,给出了相关参数,如影响域、定义域、权函数等的确定方法. 由十采用的是最小二乘的思想,因而在任意的一点是不满足德尔塔函数的性质,因而说要利用特殊的方法使得在这些点处满足德尔塔,本文采用了罚函数法,拉格朗日乘子法来处理本质边界条件. 将上述方法中求得的形函数与代入变分问题得到边值问题对应的离散方程,解方程后代入视电阻率计算公式,得到地面上各点的视电阻率. 最后通过几个典型模型的卡利亚视电阻率拟断面图和相位拟断面图,得出不同模型下电磁场相应特征的分布规律,验证了无网格算法的正确性.


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