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时滞非线性微分方程组的周期解和概周期解

崔诚  
【摘要】:周期解和概周期解理论,历来就是非线性微分方程振动理论的重要内容。但目前国内外对这一问题的研究进展缓慢,文献较少。本文采用上、下解方法统—讨论了含时滞的非线性微分方程组,一维非线性抛物方程组的周期解、概周期解问题和含时滞多维非线性抛物方程组空间齐次周期解、空间齐次概周期解问题,建立了存在性、唯一性等基本理论。在对若干实际模型的应用中,充分显示了所得结果的可行性、有效性和广泛性。全文主要内容如下: 第一章讨论时滞非线性方程组的周期解和概周期解。首先,在存在性问题的证明中,充分利用单调迭代序列的有序单调性和有界性特点,将上、下解方法与不动点原理结合起来,从而避免了在无穷区间上证明序列收敛性的困难,极大地简化了证明过程。在唯一性条件提出问题上,深入分析了非线性项对系统影响的不均等性,将唯一性条件转化为由其相应的Lipschitz常数不等式来控制,得到了形式统一的唯一性条件。其次,作为应用,具体分析了两个实际模型: 1. Lotka-Voltterra n种群合作模型:所得结果表明存在一种物种状态呈周期或概周期变化的状态,而且只要初始状态在可预控范围内,相应的其他物种状态就会向周期或概周期状态逼近,而随着时间前移,逼近度越来越高,不会出现大起大落。同时这种结果也指出了在模型的应用中,为了达到控制种群状态的预期效果,需注意调整模型参数。 2.免疫反应系统Marchuk模型:分析结果揭示了抗体、抗原和等离子细胞存在一种周期或概周期状态,而且当原始的抗体、抗原和等离子细胞处于可预控区域内时,其相应的其他状态就会随着时间的增加愈来愈接近周期或概周期状态,而不会发生畸变。与此有关的,对周期情形,前人用数值模拟的方法研讨过这一现象,而全面的理论分析,似乎这是第一次。 第二章研究时滞一维非线性抛物方程组第一边值问题的周期解和概周期解。对于存在性问题,处理过程与第一章相关部分是相似的,但唯一性的证明方法则不同,先对解做先验估计,再应用光滑函数的截断法将边值问题化为初边值问题,从而以便分步做估计,方法虽复杂,但具有普遍性。作为应用的例子,是下列的带扩散的Marchuk模型:其中α(t),gl(t),hl(t)是ω-周期的或者概周期的。应用本章的理论直接得到了该模型周期解、概周期解的存在性、唯一性。利用特征值性质和比较原理,进一步得到了这两类解的全局稳定性。这些结果充分揭示了这个模型解的几何性质,为研究一般的时滞非线性抛物方程组提供了有效的途径和方法。 第三章讨论时滞多维非线性抛物方程组空间齐次周期解和空间齐次概周期解。这是一个新问题,因为迄今为止,在国内外有关文献中,只有少数工作讨论过不含时滞的偏微分方程的空间齐次周期解问题,尚未见到有关偏泛函微分方程或含时滞偏微分方程空间齐次周期解、概周期解的研究文献。定义表明,偏微分方程组的空间齐次周期解、概周期解的研究归结到对应的常微分方程组的两类解的研究,从而应用第一章的理论可直接推出空间齐次周期解、概周期解存在与唯一定理。同时这个事实还进一步揭示了偏微分方程在某种形式和某种定解条件下,解的几何结构可由空间齐次周期解或空间齐次概周期解决定,这在定性理论分析中是非常重要的。 作为应用的实例是生态学中的Prey-Predator模型: 其中Di,ai是ω-周期的或概周期的。利用上述基本定理并结合Liapunov方法立即推出该模型空间齐次周期解、概周期解的存在唯一性及其全局稳定性。这些结论表明捕食和被捕食中存在一种周期或概周期变化的状态,当两者的原始状态处于某一可预控区域之中时,其相应的捕食和被捕食的变化就会越来越逼近周期或概周期状态。这种现象具体显示了这个模型的动力学性质。


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