基于迭代算法的复杂噪声背景中谐波频率的高精度估计

【摘要】： 谐波恢复问题是信号处理领域的一个典型问题,同时也是统计信号处理研究的一个重要内容。它在声纳、雷达、地球物理、无线通信、射电天文学、核磁共振、声学等众多领域有广泛的应用,而且最近的研究结果表明,它也是机器人设计以及柔性空间结构控制的基础。这个问题依据背景噪声的复杂程度可以分成两大类,一类是加性噪声中的谐波恢复(又称为常数振幅谐波参数估计),一类是乘性和加性噪声中的谐波恢复(又称为随机振幅谐波参数估计),而加性噪声中根据功率谱的不同又可分为：白噪声中的谐波恢复和有色噪声中的谐波恢复。依据信号的维数又可分为一维谐波恢复和二维谐波恢复。尽管迄今为止的大部分研究工作集中在加性噪声背景下的谐波恢复问题的讨论方面,但是在实际应用中,经常出现复杂噪声背景中的谐波谐复问题。例如：在水声信号处理中,乘性噪声可以描述由媒质、流向变化和目标散射引起的随机波动对声波的影响。因此将这一类型的观测数据建模为乘性和加性噪声中的谐波信号具有更实际的意义,由此进行的信号模型的分析与求解能更充分地提取数据所含的信息。 现代数字信号处理的趋势之一为在复杂噪声背景下快速准确的估计信号参数,提供能用于在线实施的在线算法,然而作为在线算法要求算法不仅计算量小,稳定,估计精度高,还需要估计量有很高的关于样本的收敛速度,对噪声有很强的适应能力。现有的一维以及二维谐波恢复参数化方法(非迭代方法)和非参数化方法(迭代方法)在在线估计方面主要有以下不足：已有的非参数化方法如Gauss-Newton方法[1]往往存在计算复杂,收敛速度比较慢,收敛不够稳定,估计严重依赖于初值的问题。参数化方法算法虽然估计性能较为稳定,但是计算比较复杂,关于样本的收敛速度不够快,对噪声的适应能力不够强。最小二乘估计(LSE)[2]和最大似然估计(MLE)[[3]虽然具有很高的估计精度以及最快的关于样本的收敛速度,其中LSE对于一维频率{ωj}的估计的收敛速度达到Op(M-3/2)(其中M为样本容量),对于二维频率对{(ω1k，ω2k)}的关于样本的收敛速度分别达到Op(M-3/2N-1/2),Op(M-1/2N-3/2)(这里M和N为二维样本容量,Op(N-δ)(δ0)表示Op(N-δ)Nδ以概率有界),然而这些算法往往要基于目标函数在二维频率空间进行多维搜索,计算量比较大而难以实施。若能找到LSE的一种等效算法同时使得该算法计算量很小,计算简便,对噪声适应能力很强,将可以用于在线估计而非常具有实际意义,然而单一的一种算法却很难以具备以上所有的优点。最近印度学者S. Nandi和D. Kundu提出一了一种加性噪声情形下一维谐波频率估计的高精度迭代(HA1)算法。该方法分为两阶段来估计频率,第一阶段得到频率的一个初估计,第二阶段通过三步迭代来逐步提高估计的精度和估计的收敛速度,可以证明经过三步迭代之后的估计量可以达到LSE的估计精度及收敛速度,由于只用了三步迭代,所以计算量很小。除此之外,HAI算法能得到估计量的渐近分布,其计算量不会随着维数增大而变大,可推广到更高维。 由以上可以看到,通过联合两种算法分阶段来估计一维以及二维谐波频率,有可能使得算法能同时兼有参数化方法以及非参数化方法的优点即高的估计精度,很快的关于样本的收敛速度,对噪声适应能力强,计算量小以及计算简便易于实施的优点,故可作为一维以及二维谐波频率参数估计的在线估计算法。受[2]的启发,本文将此种具有优良统计性能加性噪声一维情形下的HAI算法拓广到用于非零均值以及零均值乘性噪声情形,然后进一步将其拓广用于二维加性噪声以及非零均值乘性噪声,零均值乘性噪声情形。其中对于加性噪声以及乘性噪声分别为白噪声以及平稳有色噪声两种情形作了对比研究,对于加性噪声分别为实噪声和复噪声作了对比研究,对于二维情形下非零均值乘性噪声以及零均值乘性噪声情形下的HAI算法分别应用到估计纹理图案的第一以及第二成份频率参数。最后提出了二维样本差异较大情形下的基于抽取技巧的HAI算法。HAI算法的拓广过程中第二阶段统计量的构造是本文的难点,要根据待估计参数的特征来构造合适的统计量,特别是对于零均值乘性噪声情形下的估计,若采用非零均值乘性噪声情形下的HAI算法估计会失败,需要通过将信号平方后利用乘性噪声方差来提取并估计频率参数。HAI算法的特色在于：把估计分为两个阶段,可以将两种算法的优点融合在一起,第二阶段通过构造统计量建立迭代式逐步提高估计的精度,可以证明只需要三步即可收敛,故使得算法稳定,计算量很小。三步迭代过程相当于将观测信号统计特征连续利用了三次,所以在样本较小时就有相当高的估计精度,而且可以证明三步迭代之后的估计量达到和LSE相同的收敛速度和估计精度。另外通过理论证明以及仿真实验还可以看到： (1)本文所考虑的多种复杂噪声背景下的一维以及二维谐波频率参数的HAI估计均为无偏估计以及一致估计,估计的渐近分布均为正态分布； (2)本文所考虑的各种复杂噪声背景下的HAI算法对白噪声以及平稳有色噪声均有很强的适应能力；白噪声情形下的估计性能要好于平稳有色噪声情形下的估计性能；对于非零均值乘性噪声情形,复加性噪声与实加性噪声情形下的估计性能相当；对于零均值乘性噪声情形,实噪声情形下的估计会在原点产生伪频率。 本文的创新点主要体现在以下几个方面： (1)提出了一维以及二维各种复杂噪声背景下的谐波频率参数的高精度迭代算法,该算法兼有参数化方法以及非参数化算法的优点,计算量小,稳定,估计的收敛速度快,对噪声的适应能力强,适合作为一维以及二维谐波频率参数估计的在线算法； (2)系统分析并证明了HAI估计量为频率参数的无偏估计以及一致估计,并得到了估计量的渐近分布； (3)运用所提出的二维非零均值以及零均值情形下的HAI算法估计纹理图案的第一以及第二成份频率参数进而恢复纹理图案； (4)提出了基于样本抽取技巧的HAI算法,改善了二维情形下二维样本差异较大时的估计的分辨率不足以及估计方差严重偏大的问题。