累积法GM模型及其病态性研究

【摘要】：灰色系统理论自20世纪80年代初诞生以来,就一直受到广泛的关注。它具有所需样本数据少、运算方便、短期预测精度高等优点。但是在以后的陆续研究中我们发现采用累加法、最小二乘法对模型进行参数估计时,有时GM模型存在不同程度的病态性,数据的微小变动或计算中的舍入误差就常常造成预测值的巨大误差。因此如何克服模型中的病态性,保证灰预测效果的可靠性和稳定性,就成为改进模型的一个重要方面。累积法原是由意大利数学家P.E.Marchesi创造的一种曲线拟合技术,可以用于GM模型的参数估计中。本文主要研究了累积法GM(1,1)、GM(2,1)、GM(0,2)、GM(0,3)模型的病态性问题并就数乘变换对累积法GM(n,h)模型病态性的影响进行了一定的探讨。发现将累积法引入GM模型的参数估计以后,运算的复杂性和病态性都明显降低,并且数乘变换还能进一步地降低病态性。 本文首先介绍了累积法的基本原理及已有的累积法GM模型,然后介绍了灰色模型病态性问题的研究进展。 GM(1,1)模型是灰色模型理论的核心内容,是灰预测和灰控制方面应用最广泛的灰色模型。本文基于条件数理论,对累积法GM(1,1)模型的病态性进行了分析,发现用累积法来建立该模型能够处理病态性问题,只须对原始数据进行一个简单的数乘变换,此变换不影响模型的高精度性质。 GM(2,1)模型因有两个特征根,所以在动态特征上可以反映出单调、非单调(即摆动)的情况。本文将累积法引入到GM(2,1)模型的参数估计中,给出了新的参数估计公式,发现其计算量与条件数比采用累加法时大大降低了。但是也有个别的条件数较大,所以我们对累积法GM(2,1)模型的病态性进行了一定的分析,证明了利用数乘变换可以明显降低其病态性。 本文在灰色系统模型病态性的理论研究方面做了一些初步探讨,在理论和方法上有一些创新结果,但也存在许多问题,GM(2,1)模型的病态性还没有得到彻底解决,累积法GM模型条件数一般都较小的理论依据还有待进一步探讨,今后我们将在这些方面作进一步研究。