约束满足问题的模型构造和相变现象

【摘要】：约束满足问题(Constraint Satisfaction Problem,简称CSP)由一个变量集合和一个约束集合组成,通过为一组变量赋值来满足一组给定的约束.约束满足问题在人工智能、计算机科学等众多应用领域都具有十分重要的意义.随机CSP模型是随机CSP研究的基础.一个好的随机CSP模型,尤其是能产生难解实例的模型,对于我们研究CSP的性质和测试CSP算法的性能具有重要的作用.经典的CSP模型存在平凡渐近无解性问题,为了克服这个缺点,一些值域固定的模型在约束关系中加入特殊的组合结构,另一方面,一些学者开始研究值域可变的模型,如RB模型. 在第二章中,受k增长的随机k-SAT模型和RB模型的启发,我们提出了一个新的随机CSP模型,称为d-k-CSP模型.对于d-k-CSP模型,如果值域大小d和约束作用域的长度k满足条件：对任意的正实数ε有klnd≥(1+ε)ln n,则d-k-CSP模型存在精确相变现象.如果值域大小d是常数,约束作用域的长度k随变量个数n的增加而呈对数增长,在这种情况下,d-k-CSP模型就是k-CSP模型；如果值域大小d=nα,约束作用域的长度k是常数,在这种情况下,d-k-CSP模型就是RB模型. 在第三章中,我们分析了d-k-CSP模型的归结复杂性,在d≥nα的情况下,约束作用域的长度k固定,d-k-CSP模型的不可满足实例对于树型归结证明有指数下界.对于d为常数和d=lnn这两种情况我们给出了实验结果,实验结果显示在这两种情况下,d-k-CSP模型会发生可满足性相变现象,且在相变点附近的实例是难解的.在d为常数和d=Inn的情况下,当变量个数n充分大时,值域大小d和约束作用域的长度k并不是很大,因此d-k-CSP模型可以产生非平凡的具有小值域的随机CSP实例,这对测试CSP算法是非常有用的. 在第四章中,结合线性CSP模型和d-k-CSP模型的特点,我们提出了一个随机线性CSP模型,K-hyper-F-linear CSP模型,这个模型每个变量的值域都取相同的有限域F,从向量空间Fk中随机选取超平面作为约束关系,n是变量个数,k是约束作用域的长度,这里k是关于n的整值函数.我们证明了K-hyper-F-linear CSP模型存在精确的可满足性相变现象.与一些已有的线性CSP模型的结果相比,本文提供了一个基于一般讨论上的新证明,给出了更一般的结果；同时,随机产生的有限域上的n元线性方程组可看成K-hyper-F-linear CSP模型的特例.此外,讨论了高斯消去法判断随机线性方程组是否有解的算法复杂性,发现最坏情况出现在相变点附近.在最后一章中,总结了本文的主要结果.