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拓扑指标和拉普拉斯谱理论中的若干问题

冶成福  
【摘要】:用G=(V(G),E(G))表示顶点集是V(G),边集是E(G)的图,图G的两个点称为独立的,若它们不相邻,V(G)的没有任何两个点相邻的子集称为独立集.图G的所有独立集的总数目称为Merrifield-Simmons指标.图G的两条边称为独立的,若它们没有公共顶点.E(G)的没有任何两条边相邻的子集称为独立边集(匹配).Hosoya指标是独立边集的总数目.文献[X.Z.Lv,Y.Y,A.M.Yu,J.J.Zhang,Ordering trees with given pendent vertices with respect to Merrifield-Simmons indices and Hosoya indices,J.Math. Chem.,2009]中X.Z.Lv, Y.Y,A.M.Yu,J.J.Zhang对具有n个顶点和k个悬挂点的树集Tn,k中部分树用Merriffield-Simmons指标和Hosoya旨标进行了排序,本文在此基础上在树集Ln,k中刻画了Merriffield-Simmons旨标从最大到第[n-k+1/2]大的树和Hosoya指标最小到第[n-k+1/2]小的树. 对单圈图的化学拓扑指标进行研究是数学化学一个重要内容,也推出了许多新的研究成果.在[A.M.Yu, F.Tian, A kind of graphs with Minimal Hosoya in-dices and maximal merrifeld-Simmons indices,MATCH Commun.Math. Comput. Chem.55(2006),103-118]Yu和Tian刻画了m-匹配单圈图U(n,m)中具有最小和次小Hosoya指标的极值图.在本文,刻画了m-匹配单圈图中取到第三小,第四小,第五小,第六小Hosoya指标的图. 对给定简单图G,用A(G)表示它的邻接矩阵.图G的能量定义为它的邻接阵A(G)的所有特征值的绝对值之和.这一定义的重要化学背景是图的特征值共轭碳氢化合物中π-电子的分子轨道能量级有着紧密的对应.1977年,Gutman首先定义了二部图的拟序关系“(?)”,利用图的拟序关系有效地解决关于图极值能量的很多问题,但也有许多拟序不可比问题.最近,Huo等运用分析、代数和组合方法,同时依据能量的Coulson积分公式解决了一些困难问题,文献[A.M. Yu, X.Z. Lv,Mini-mum energy ont rees with k pendent vertices,Linear Algebra and its Applications.,418(2006),625-633]刻画了在n个顶点和k个悬挂点树集Tn,k中取最小能量的图.在本文,将这些方法组合应用,刻画了在n个顶点和k个悬挂点树集Tn,k中取到第二小能量的图.文献[F.Li,B.Zhou, Minimal energy of unicyclic graphs of a given diameter, J.Math. Chem.,43(2008),476-484]刻画了具有固定直径的单圈图集中取到最小能量的图,本文刻画了具有固定直径的单圈图集中取到第二小能量的图的范围. 矩阵L(G)=D(G)-A(G)是G的Laplacian矩阵,其中D(G)=diag(d1,d2,…,dn)是度矩阵(di=deg(vi)).图的Laplacian谱是由Laplacian矩阵的特征值(及其重数)组成,这篇文章研究了Laplacian谱半径至多为4的图.在这些图中,那些不是由他们的Laplacian谱所确定的图给出对应的同谱非同构图.


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