图中Z_3-连通和处处非零3-流问题的研究

【摘要】：整数流理论是被Tutte作为解决四色猜想的工具引入的.设D是图G的一个定向,ED+(v)(ED-(v)表示以v为起点(终点)的所有边的集合.如果存在映射f：E(G)→{±1,±2,.…±(k－1)}使得对任意v∈V(G)有那么称G存在处处非零κ-流Tuttc猜想：每个4-边连通图存在处处非零3-流.1992年,Jaeger等在文献[10]中把整数流的概念推广为群连通的概念.设4是单位元为0的Abel加群.如果对任意b：V,(G)→.4并且满足∑v∈V(G)b(V)=0,存在映射f：E(G)→。4-{0}使得对任意v∈V(G)有则称G是4-连通的.令Z3表示3阶循环群Jaeger等在文献[10]中猜想：每个5-边连通图都是Z3-连通的.围绕这两个猜想,本文主要作了以下研究. 首先,本文研究了最小度满足一定条件的简单二部图.设G是阶数为n的简单二部图.在本文中,我们证明了：若δ(G)≥「n/4]＋1,则除一个特殊图以外,G存在处处非零3-流.并且还证明了：若n≥13且δ(G)≥「n/4]＋1,则G是Z3-连通的.这里我们要特别指出,两个结论中最小度的下界是最好可能的. 其次,本文研究了不相邻两点的邻域并满足一定条件的2-边连通图.设G是阶数n≥14的2-边连通图.如果G*是通过不断收缩G的非平凡的Z3-连通子图直到不存在这样的图为止所得到的图,则称G可Z3-收缩为G*.对此类图,我们证明了：若对任意ug(?)E(G)有|N(u)∪N(r)|≥「2n/3],则G不是Z3-连通的当且仅当G可z3-收缩为{G3，K4-,L}之一,其中L是由完全图K4加上一个与其两个点相邻的顶点得到的图. 再次,本文研究了广义二面体群和广义四元数群上的Cayley图,并且证明了3-流猜想对这两类群上的Cayley图是成立的.本文的这个结果也推广了Yang和Li在[Information Processing Letters,111 (2011) 416-419]中的结论. 最后，本文研究了定义在Abel群上的点传递图，并且证明了度不小于4的Abel群上的点传递图存在处处非零3-流.我们的这个结果推广了Potocnik,Skovicra和Skrekovski在Discrete Mathematics,297 (2005),119-127]中的结果.