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关于一些椭圆型方程及方程组的解的存在性的研究

王春花  
【摘要】:本文主要研究半线性椭圆型方程及方程组,带电磁位势的非线性Schrodinger方程及Schrodinger-Pooisson方程组的解的存在性. 本文共分七章: 在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号. 在第二章中,我们研究下述非线性椭圆型方程的非平凡解的存在性.其中Ω是RN中的有界区域,a∈LN/2(Ω),N≥3.f∈C0(Ω×R1,R1)在t=0处是超线性且在t=∞是次临界增长.在某些给定条件下,(S1)具有所谓的环绕几何结构.在不假设Ambrosetti-Rabinowitz条件下,我们证明了(S1)至少有一个非平凡解.我们的结果推广了Miyagaki和Souto文献[103]中的结果,他们考虑a(x)=0的情况,此时(S1)具有山路几何结构.在第三章中,我们应用环绕定理和集中紧原理证明下述半线性椭圆型方程组至少存在一对正解(u,v)∈H1(RN)×H1(RN).这里关于f,g∈C0(RN×R1)的主要假设是:f(x,t)和g(x,t)在t=0处是超线性,在t=+∞是次临界增长,同时f和g满足某种单调性条件.这里我们不假设f或g满足通常的Ambrosetti-Rabinowitz条件.我们将文献[103]中的主要结果从单个方程推广到了方程组. 在第四章中,我们进一步研究半线性椭圆型方程组(S2).此处f(x,t)和g(x,t)满足一组与第三章不同的条件.应用关于无穷维的强不定的泛函的临界点理论,我们证明了(S2)有一个正的基态解.此外,如果f(x,t)和g(x,t)关于x是周期函数,关于t是奇函数,则(S2)有无穷多个几何不同的解.我们的结果改进了文献[88,89]中的结果. 在第五章中,我们研究下述带电磁位势的非线性Schrodinger方程其中A(r)=(A1(r),A2(r),…,AN(r))为向量,Aj(r)(j=1,2,…,N)是R+上的实函数,V(r)是R+上的正函数,当N≥3时,1<p<N+2/N-2;当N=1,2时1p+∞.我们证明了在给定的条件(H1)和(H2)下(E1)有无穷多个非径向的复值解.我们的结果推广了Wei和Yan文献[134]中的结果,他们考虑(E1)中A(y)三0的情况. 在第六章中,我们研究下述带电磁位势的非线性Schrodinger方程其中2<p<2N/N-2,如果N≥3;2<p<+∞,如果N=1,2.ε0是参数,a(x)是RN上的正的连续函数,A(x)=(A1(x),A2(x),…,AN(x))是向量,Aj(x)(j= 1,2,...,N)是RN上的实函数.我们证明了在某些给定的条件下对任意的正整数m,存在ε(m)0使得,对任意的0εε(m),(E2)有一个m-峰的复值解.因此,当ε→0,(E2)有越来越多的多峰复值解.我们的结果推广了Liu和Lin文献[96]中的结果,他们考虑(E2)中A(x)三0的情况. 在第七章中,我们研究下述非线性Schrodinger-Poisson方程组 其中K(x)是R3中的正的连续函数,lim K(x)=0,2<p<6,∈>0 |x|→∞为参数.对任意的正整数m,我们证明了存在ε(m)0使得在某些给定的条件下对任意的0<∈<∈(m),(SP)有一个正的m-峰解.因此当ε→0时,(SP)有越来越多的多峰解.我们的结果推广了文献[96]中关于单个非线性Schrodinger方程的结果.


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