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几类椭圆型方程及方程组解的存在性与集中性

贾慧芳  
【摘要】:本文主要研究带陡势阱位势的Kirchhoff型方程基态解的存在性与集中行为,Schr(?)dinger-Kirchhoff型p-Laplacian方程及分数次Kirchhoff型方程解的存在性、集中性与多解性,带局部约束的非线性Schr(?)dinger系统驻波解的存在性、稳定性与数量性质.本文共分五章:在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们研究一类带陡势阱位势的Kirchhoff型方程(?)解的存在性与集中行为,其中a,b,λ0,V ∈C(R~3,R)是一个势阱,q(x)是正有界函数,f(s)关于s在无穷远处渐进线性或渐进3-次线性.当V,q及f满足某些给定条件时,利用变分方法,我们证明了当f(s)关于s在无穷远处渐近线性时问题(E_1)解的存在性.特别地,我们考虑了位势函数V变号时问题(E_1)解的存在性.此外,我们还讨论了当f(s)关于s在无穷远处渐近3-次线性时问题(E_1)基态解的存在性与集中性.上述结果把Sun和Wu(J.Differ.Equations.2014)中关于带非负势阱位势的Kirchhoff型方程的主要结果推广到了带变号势阱位势的Kirchhoff型方程.本章的主要结果已发表于(J.Math.Anal.Appl.,467,893-915(2018)).在第三章中,我们研究R~N中Schr(?)dinger-Kirchhoff型p-Laplacian问题(?)的多解性与集中性,其中△_p是p-Laplacian算子,N≥ 3,1pN,M:R~+→R~+和V:R~N→R~+是连续函数,e是一个正的参数,f为次临界增长的连续函数.我们假设V满足由Del Pino和Felmer在文献[28]中引入的局部条件.通过利用变分方法,惩罚技术及Lyusternik-Schnirelmann理论,我们证明了问题(E_2)解的存在性,集中性与多解性.本章的主要结果已发表于(Acta Math.Sci.Ser.B,38,391-418(2018)).在第四章中,我们研究下列分数次Schr(?)dinger-Kirchhoff型问题(?)基态解的存在性,集中性与多解性,其中(?)是非局部算子,e是很小的正参数,s∈(3/4,1)算子(-△)~s是阶数为s的分数Laplaican,M,V,K和f是连续函数.在M,V,K和f满足适当的条件下,我们证明了问题(E_3)基态解的存在性与集中现象.运用极小极大定理和Ljusternik-Schnirelmann理论,我们通过研究位势V(x)的全局极小值点所构成的集合与位势K(x)的全局极大值点所构成的集合的拓扑结构来得到问题(E_3)的多解性的结果.本章的主要结果已发表于(Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.,43,991-1021(2018)).在第五章中,我们研究下列带局部约束的非线性Schr(?)dinger系统(?)标准化解的存在性,数量性质及对称性,其中μi0(i=1,2),β0,频率λ1,λ2是未知的且以拉格朗日乘子出现.我们通过寻找能量泛函(?)限制在集合S(c_1)×S(c_2)上的临界点来找到问题(E_4)的标准化解,其中(?).由于I(u,w)在S(c_1)×S(c_2)上无下界,所以通过寻找I(u,v)在S(c_1)× S(c_2)中的全局极小点的方法失效.我们通过在S(c_1)×S(c_2)的一个子集上运用约束极小法,证明了对特定的c_1,c_2c_20,在S(c_1)× S(c_2)中存在局部极小点.进一步,我们分析了依赖时间的Schr(?)dinger系统相应驻波解的稳定性.上述结果把Bellazzinietal.在(Commun.Math.Phys.2017)中关于带局部约束的超临界非线性Schr(?)dinger方程的主要结果推广到了带局部约束的非线性Schr(?)dinger系统.


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