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关于半线性奇异椭圆方程的研究

康东升  
【摘要】: 本论文主要研究一类半线性奇异椭圆方程。这一类问题具有奇异系数,带有临界Sobolev-Hardy项或临界Sobolev项。首先,本文考虑了方程:-Δu-(μ(u/(|x|~2))=λ|u|~(r-2)u+η((|u|~(q-2))/(|x|~s))u,x∈Ω;u=0,x∈Ω;其中Ω是R~N(N≥3)中的有界光滑区域,0∈Ω,μ∈[0,((N-2)/2)~2),λ>0,η>0,2≤r≤2~*:=2N/(N-2),0≤s<2,2<q≤2~*(s):=(2(N-s))/(N-2),对其所对应的变分泛函的(PS)序列进行了仔细讨论,给出了一个局部紧性结果,进而利用这一结果证明了该方程正解(Mountain-pass解)和变号解的存在性。这里的主要困难是要找到Sobolev-Hardy临界时最佳嵌入常数的达到函数,同时在寻找变号解时还要克服方程正解的奇性。 其次,本文利用Sobolev-Hardy临界时的达到函数和linking方法研究了临界Sobolev-Hardy增长的椭圆方程:-Δu-(μ(u/(|x|~2))=((|u|~(2~*(s)-2))/(|x|~s))u+λu,x∈Ω;u=0,x∈Ω;并对大范围内的λ证明了方程非平凡解的存在性。当λ≥λ_1(算子-Δ-(μ/(|x|~2))的第一特征值)时,这个解是变号解。 对于临界Sobolev-Hardy增长的非齐次椭圆方程:-Δu-(μ(u/(|x|~2))=((|u|~(2~*(s)-2))/(|x|~s))u+λu+f(x),x∈Ω;u=0,x=Ω;本文利用Sobolev-Hardy临界时的达到函数,Ekeland变分原理和山路引理证明了在一定条件下方程多解的存在性。这里同样也要克服方程解的奇性。 最后,利用前面得到的结果本文讨论了临界Sobolev增长的椭圆方程-Δu-(μ(u/|x|~2))=|u|~(2~*-2)u+λ((|u|~(q-2)/|x|~s))u,x∈Ω;u=0,x∈Ω;证明了在一定条件下方程无限多个解的存在性。


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