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带Robin边值条件的半线性奇异椭圆方程正解的存在性

金玲玉  
【摘要】: 本文考虑了方程:这里Ω是R~n中带C~1边界的有界区域,其中n≥3,0∈(?)Ω,0<μ<u~*,u~*是一个正常数,λ,η>0,2<r<(2(n-1))/(n-2),2~*(s)=(2(n-s))/(n-2),γ=(γ_1,γ_2,…,γ_n)是(?)Ω单位外法向,α(x)是非负的函数。 最近,很多人对半线性奇异椭圆方程很感兴趣。在2000年,Ghoussoub研究了方程,这里λ,μ是正的参数,Ω是R~n中包含0的光滑有界区域,1<p<n,p≤q≤p~*(s)=(n-s)/(n-p)p,p≤r≤(np)/(n-p)。他研究了当p,q,λ,μ,取不同值时解的情况(正解,变号解,无穷多个解)。邓引斌和康东升研究了方程,他们研究的都是带Dirichlet边值条件的奇异椭圆方程,而本文考虑的是带Robin边值条件的奇异椭圆方程。 本文的思路是先证明解的一般存在性定理,然后对我们研究的方程的能量泛函进行估计,验证它满足一般存在性定理的条件,进而证明方程的正解的存在性。在证明一般存在性定理时,因为2~*(s)是临界指标,函数J(u)不满足(PS)条件,而且奇性也给我们带来相当大的困难,因此我们不能直接应用变分方法。我们通过最佳Sobolev-Hardy常数的达到函数,应用拉直边界的方法,验证方程对应的泛函满足(PS)_C条件,从而证明了这个定理。


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