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关于一类半线性椭圆方程的研究

杨芬  
【摘要】: 本文主要研究全空间R~n上的一系列半线性椭圆方程: △u+sun from i=1 to k c_i|x|~(l_i)u~(p_i)=0,(0.1.1) div(A(|x|▽u)+K(|x|)u~p=0 (0.1.2)和 △u+K(|x|)u~p+μf(|x|)=0,(0.1.3)其中n≥3,△=sum from i=1 to n (?)~2/((?)x_i~2)是n维调和算子,指数p>1,p_i>1,l_i>-2,c_i>0,i=1,2,…,k。A(|x|)>0,K(|x|)和f(|x|)都是R~n\{0}上的H(o|¨)lder连续非负函数。 这类方程起源于黎曼几何,被称为共形内积曲率方程。最初问题的简化形式为方程 △u+K(|x|)u~((n+2)/(n-2))=0。这类方程在物理中也有着广泛应用,由于正解的对称性,绝大多数数学家研究径向对称正解的存在性和它们的一些性质,例如解的单调分层性、无穷远处衰减等。 众所周知,我们考虑的是全空间的问题,这样的无界空间没有紧性,而且所有方程的第二项系数函数(K(|x|)或者c_i|x|~(l_i),i=1,2,…,k)在零点有奇性,这些都是我们要克服的困难。对于方程(0.1.3),除了以上困难外,还有一非齐次项f,也对研究造成困难。在本文中,我们考虑方程的径向对称形式,令r=|x|,于是方程依次化简为: u″+(n-1)/r u′+sum from i=1 to k c_ir~(l_i)u~(p_i)=0,r≥0,(0.1.4) (r~(n-1)A(r)u′)′+r~(n-1)K(r)u~p=0,r≥0 (0.1.5)和 u″+(n-1)/r u′+K(r)u~p+μf(r)=0,r≥0。(0.1.6) 对以上方程给定初值 u(0)=α,(0.1.7)记方程初值为α的解u(α,r)为u_α(r)。对于方程(0.1.4)和(0.1.5),当p_i,l_i,1≤i≤k和A(|x|),K(|x|)分别满足一定条件时,对每个正初值u(0)=α>0,方程都有正解;而对于方程(0.1.6),只有正解的无穷多重存在性结果。我们将考虑方程(0.1.6)正解关于初值的存在性结构,并逐个考虑以上三个方程正解的单调分层性(即解关于初值的单调性)和它们在无穷远处的具体渐近行为。同时得到方程(0.1.4)和一类Hardy方程奇解的存在性、分离性结构和在零点的奇性以及无穷远处的衰减。对于方程(0.1.6),我们还研究它的奇解(即在R~n/{0}上的正解)的存在性和它在零点以及在无穷远处的渐近行为等。


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