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关于在多维空间中带退化粘性项的单个守恒律方程的平面粘性稀疏波的衰减估计

刘艳红  
【摘要】: 本文分为两个大部分来讨论在多维空间中带退化粘性项的单个守恒律方程的平面粘性稀疏波的衰减估计,一部分是半空间中的初边值问题,另一部分是全空间中的Cauchy问题。 首先,我们讨论了一维半空间中的初边值问题解的渐近行为并得到衰减估计。其次、我们将结果推广到多维半空间,对带退化粘性项的单个守恒律方程的平面粘性稀疏波做L~2估计,然后进一步做L~p估计。最后,对多维全空间中的Cauchy问题也得到L~p估计。 我们考虑n-维半空间R_+~n=(0,∞)×R~(n-1)中带退化粘性项的单个守恒律方程的初边值问题: u_t+sum from i=1 to n((f_i(u))_(x_i))=t~α△u,t>0,x∈R_+~n,(4.2.1)初始条件为 u(x,0)=u_0(x),x∈[0,∞)×R~(n-1),(4.2.2)边界条件为 u(0,x′,t)=u_-,t≥0,x′∈R~(n-1),(4.2.3)其中u=u(x,t)是x=(x_1,x_2,…,x_n)∈R_+~n和t的未知函数,x′=(x_2,…,x_n)∈R~(n-1),n≥1,t≥0,α≥0,且u_-是给定常数,每个流函数f_i(u)足够光滑,△=sum from i=1 to n((?)~2/((?)x_i~2))表示n-维Laplace算子。假设存在常数u_+使得初值满足 (?)‖u_0(x_1,·)-u_+‖_(L~∞(R~(n-1))=0,(4.2.4)相容性条件为 u_0(0,x′)=u_-,x′∈R~(n-1)。(4.2.5)此外,我们假设方程(4.2.1)在x_1-方向上是真正非线性的(见参考文献[20]),即存在正常数β使得 f″_1(u)≥β>0。(4.2.6)也假设特征速度f′_1(u_±)满足 0≤f′_1(u_-)<f′_1(u_+),(4.2.7)由(4.2.6)和(4.2.7)可得u_-<u_+。 对半空间,主要结果表述如下: 定理4.2.2.对任意1≤p<∞,我们有 ‖v(t)‖_(L~p)≤CM(1+t)~(-γ(1+α)),t≥0,且对任意2≤p<∞有以下结论 ‖(?)v(t)‖_(L~p)≤CM(1+t)~(-γ(1+α))t~(-1/2(1+α))+CM(1+t)~(-γ(1+α))t~(-(4/pα+5/2α+1/2)),t>0,‖v_(x_1)(t)‖_(L~p)≤CM(1+t)~(-γ(1+α)t~(-1/2α))(1+t~(-1/2)+t~(-1/2α))+CM~p(1+t)~(-γ(1+α))t~(-(4/pα+5/2α+1/2)),t>0。其中 (?)=(?)_j,j=2,3,…,n。 此外,当p=∞时,对任意ε>0有 ‖v(t)‖_(L~∞)≤C_ε(1+t)~(-n/2+ε)(1+α)),t≥0。其中C_ε是一个依赖于ε的正常数。 下面考虑n-维全空间R~n中带退化粘性项的单个守恒律方程的Cauchy问题,对全空间,主要结果表述如下: 定理5.2.2.对任意1≤p<∞,我们有 ‖v(t)‖_(L~p)≤CM(1+t)~(-γ(1+α)),t≥0,且对任意2≤p<∞ ‖(?)v(t)‖_(L~p)≤CM(1+t)(-γ(1+α))t~(-1/2(1+α))+CM(1+t)~(-γ(1+α))t~(-(4/pα+5/2α+1/2)),t>0,‖v_(x_1)(t)‖_(L~p)≤CM_ρ(t)~σ(1+t)~(-γ(1+α))t~(-1/2(1+α))+CM(1+t)~(-γ(1+α))t-(4/pα+5/2α+1/2)),t>0,其中(?)=(?)_j,j=2,3,…,n,σ=(p+2)/(2p)。 此外,当p=∞时,对ε>0且对足够大的t有 ‖v(t)‖_(L~∞)≤C_ερ~ε(t)(1+t)~(-n/2(1+α)),其中C_ε是一个依赖于ε的正常数。 定理4.2.2和定理5.2.2的分析都建立在L~p-能量方法基础之上。


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