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Bishop-Gromov体积比较的两个推广和应用

胡自胜  
【摘要】: 本文将经典的Bishop-Gromov体积比较定理作了两个方面的推广和应用. 其一,将Riemann流形上常Ricci曲率下界下的Bishop-Gromov体积比较推广至带点Riemann流形上对称径向Ricci曲率下界下的体积比较。并应用它得到两类具有几乎非负Ricci曲率和弱有界几何的完备非紧Riemann流形的体积具有下界增长,全Betti数具有有限增长,而且当体积增长较慢时具有有限拓扑型. 其二,将Bishop-Gromov体积比较推广至星形区域上积分Ricci曲率下界下的体积比较,并应用它将逐点Ricci曲率下界下关于紧致Riemann流形的基本群的几个经典结果推广至积分Ricci曲率下界的情形,如,基本群的多项式增长(Milnor),第一Betti数估计(Gallot和Gromov),以及基本群同构型的有限性(Anderson)。


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