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关于体积增长的流形的曲率与拓扑研究

薛琼  
【摘要】: 在本文中,我们较系统地研究了具有非负Ricci曲率的完备非紧Riemann流形在体积增长条件下的拓扑结构. 第一,我们研究了具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧Riemann流形M~n,如果M~n满足对某个p∈M有K_p~min≥-C(C0)及一定的大体积增长条件,我们证明了M~n具有有限拓扑型;如果M~n满足共轭半径conj_M≥i_00,临界半径crit_p≥r_00及一定的大体积增长条件,我们证明了M~n微分同胚于R~n,这些是[47]和[36]中部分结果的推广.另外,我们还证明了:如果M~n满足对某个p∈M和任意r0有k_p(r)≥-C/(1+r)~α,其中C0,0≤α≤2,则M~n在一定大体积增长条件下必微分同胚于R~n.这个结论将C.Xia[56]的定理推广到一般. 第二,我们应用Gromov-Hausdorff收敛性和Toponogov型比较定理得到临界半径C_p的一个上界估计,结合距离函数与临界点的关系,得到具有非负Ricci曲率且满足α_M1/2的完备非紧Riemann流形在几个距离函数(Excess函数等)有限的条件下微分同胚于R~n的结果,从而进一步支持P.Petersen[40]的猜想. 第三,我们应用大体积增长条件下的研究方法,讨论具有非负Ricci曲率和次体积增长的完备非紧Riemann流形的拓扑结构,得到有关有限拓扑型和基本群的结论,改进了H.Zhan和Z.Shen[65]的定理.


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