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非线性分数阶反应子扩散方程数值解法

肖玲玲  
【摘要】: 近年来,分数阶微积分在科学工程领域的广泛应用引起了人们的极大兴趣.在各种材料的记忆、反常扩散、信号处理、控制理论、粘弹性系统、柔软构造物体的震动控制、分数阶生物神经元、以及自然界中多孔或裂断介质中溶质的反应和扩散、混沌现象等领域分数阶微积分都是有用的数学工具.比起传统的整数阶微积分模型,分数阶模型更能精确地模拟物质的记忆性和继承性.对于整数阶微分方程,其数值算法理论比较成熟,而分数阶微分方程的数值算法研究起步相对较晚,特别是在算法的理论分析方面的结果还较为有限. 本文研究一类非线性分数阶反应子扩散方程的数值求解问题.回顾了分数阶微积分的一些基本定义和性质,提出了求解含有初边值问题的分数阶反应子扩散方程的隐式差分数值算法.利用能量方法研究了该算法的稳定性和收敛性,理论结果表明,该方法比庄平辉、刘发旺等(P.Zhuang,F.Liu,V.Anh,et al.Stabil-ity and convergence of an implicit numerical method for the nonlinear fractionalreaction-subdiffusion process[J].IMA J.Applied Mathematics,2009,74:645-667.)提出的方法有更高的精度,数值试验结果也充分验证了这一事实.这一方法也可以用于求解其它分数阶微分方程及高维的问题.


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