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刚性延迟微分方程Runge-Kutta法处理延迟量的两类不同插值方案比较

巩星田  
【摘要】:Runge-Kutta法常用于求解刚性常微分方程(ODE)及刚性延迟微分方程(DDE)。当用于求解刚性延迟微分方程时,对延迟量的处理存在两类常用的不同插值方案。第一方案是利用已求出的未知函数值构造一个正则分段Lagrange插值算子(?)~h(t;ψ,y_1,…,y_n+1)进行插值;另一方案是兼用y_n及Runge-Kutta法的内部级值Y(n)进行插值。后一方案的明显特色在于相应的方法是自开始的,明显缺点是需要增加存贮内部级值y(n)的额外存贮量。然而更为关键和重要的是需要进一步比较这两类不同插值方案所相应的计算方法的精度和计算效率。这方面的工作我们在文献中尚未见到。 对于刚性常系数线性延迟微分方程组,本文所作的大量数值试验证实了带第一类插值方案的Runge-Kutta法的B-收敛阶能达到与其经典收敛阶一致,并就一级Gauss型Runge-Kutta法(即隐式中点法)从理论上证明了这一结论。 在理论分析的基础上,我们指出带第二类插值方案的Runge-Kutta法却不具备上述优点,并通过理论分析和大量数值试验得出了如下结论: 对于求解刚性常系数线性延迟微分方程组及Jacobi矩阵缓变的非线性刚性延迟微分方程组,当方法的级s较大时,带第一类插值方案的Runge-Kutta法的计算精度和效率高于带第二类插值方案的Runge-Kutta法,且s越大时,前者的优越性越大。 本文所获结果具有一定理论意义,且可为实际计算中选择计算方法提供准绳和参考。


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