几种有限体元格式及其在辐射热传导问题中的应用

【摘要】：有限体积法由于能保持某些物理量(如质量、能量等)的局部守恒性,它已成为一种广泛应用于科学与工程计算领域的重要数值方法.有限体元(FVE)法是一种重要的有限体积法,虽然对它已有大量的研究工作,但仍存在许多需要研究的问题.ICF问题描述的是一种聚变等离子体流体力学问题,其中三温辐射热传导方程的数值求解在该问题的数值模拟中占有主要工作量,因此,对该类问题的有限体元格式及其快速算法进行研究,是一项具有重要理论和实际应用价值的工作.本文针对定常扩散和二维辐射热传导等问题构造和分析了几种有限体元格式,获得了一批算法和理论结果. 针对定常扩散问题,当扩散系数连续时,在一致四边形网格上,首次从理论上严格证明了逐点意义下等参双线性有限体元解的渐近展式和超收敛结果；当扩散系数间断时,在含混合单元的四边形网格上,构造了两种等参双线性有限体元格式；数值实验验证了理论结果的正确性,表明了混合网格上的第二种格式具有饱和收敛阶.针对线性抛物问题,设计了相应的等参双线性有限体元格式,数值结果表明有限体元解在逐点意义下存在超收敛性. 针对连续系数和间断系数两种情形的定常扩散问题,在非结构四边形网格上,分别建立了两种保对称有限体元格式,对前一情形,当网格拟一致时,从理论上证明了有限体元解在L2和H1范数下均具有饱和收敛阶；针对一类具有非局部边界的二维椭圆问题,设计了一种保对称有限体元格式,并得到其最优L2模估计.数值实验验证了理论结果的正确性,表明了新格式具有一些特点：对扭曲网格、间断系数问题的较强适应性,对流函数在正交网格单元中心点的超逼近性,混合网格上的第二种格式具有饱和收敛阶. 针对连续系数和间断系数两种情形的定常扩散问题,分别在四边形网格上建立了相应的二阶混合有限体元格式,通过建立并从理论上证明了分层基下该有限体元刚度矩阵和二次有限元刚度矩阵的谱等价关系,设计了一种高效GAMG预条件子；数值实验验证了理论结果的正确性和新预条件子的高效性与稳定性,表明了混合网格上的第二种格式具有饱和收敛阶. 针对柱坐标系下多介质输运管单温辐射热传导模型问题,首先设计并分析了相应的分片线性保对称有限体元格式,接着将上述的二阶混合有限体元格式应用于该问题的数值求解,数值实验表明：经新格式计算得到的热传导过程与实际物理现象相符,且具有较小的能量守恒误差. 针对含和不含混合单元两种情形对应的轴对称辐射热传导问题以及含混合单元情形的球截面辐射热传导问题,在Euler四边形网格上建立了相应的保对称有限体元格式和等参双线性有限体元格式,数值结果表明：经这些格式计算得到的温度分布和辐射热传导过程比较合理,且能量守恒误差较小,从而验证了这些格式在求解该类问题时的有效性.