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几类约束耦合矩阵方程问题的迭代算法研究

梁开福  
【摘要】:线性矩阵方程(组)广泛应用于参数识别、结构设计、线性系统与自动控制理论、振动理论、量子力学以及光电学等应用学科领域.对于含一个矩阵变量的矩阵方程(组)及其相应的最佳逼近、最小二乘等问题,当前已经取得了相当丰富的研究成果,而对于含有多个矩阵变量的耦合矩阵方程(组)问题,还有大量的问题有待研究.本文就以下几类有关矩阵方程(组)的问题展开研究. 1.研究了一类带有转置的矩阵方程组问题.首先,考虑了该方程组的无约束情形,当方程组相容时,构造了其一般解及其到给定矩阵的最优近似解的迭代算法,当方程组不相容时,构造了该方程组的最小二乘解的迭代算法;其次,考虑了该方程组的(R,s)约束情形,构造了该方程组在(R,s)一对称和(R,s)一反对称约束下的迭代算法,以及该方程组的(R,s)一对称和(R,s)一反对称约束下的最小二乘问题的迭代算法.在不考虑舍入误差的情况下,对于任何初始值,这些迭代算法都可以在有限迭代步内获得问题的相应解. 2.研究了在同类矩阵约束下,耦合矩阵方程的最小二乘问题及其最佳逼近问题.同类矩阵约束是指矩阵变量x与Y属于同一类型的矩阵集合.通过利用矩阵凸函数的性质以及。r公式,获得了最小二乘问题的等价规范(法)方程,这里的r为同类矩阵对所构成的集合,这个规范(法)方程是一耦合矩阵方程组,然后,构造了耦合矩阵方程组的共轭梯度迭代算法,通过该算法,经过有限步迭代,可以得到在同类矩阵约束下的该最小二乘问题的解. 3.研究了在异类矩阵约束下,广义耦合矩阵方程组的最小二乘问题及其最佳逼近问题.异类矩阵约束是指矩阵变量x与Y属于不同类型的矩阵集合.在获得最小二乘问题的等价规范(法)方程后,再构造此规范方程迭代算法,得到该最小二乘问题在异类矩阵约束下的解.当有给定的任意矩阵对时,通过下移转换得到一个新的广义耦合sylves矩阵方程组,通过迭代算法求得其极小范数最小二乘解后,再通过下移转换,就获得了原广义耦合矩阵方程组到此给定的矩阵对的最佳逼近问题的解. 4.利用分层辨识原理,讨论了一类更广泛的耦合矩阵方程组的分层辨识迭代算法,主要思想就是将矩阵变量x和Y看成是系统的参数进行辨识.证明了该算法的迭代解对于任何的初始值总是收敛于一个确定的解,并给出了收敛因子的一个保守估计值.


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