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超常介质中Maxwell方程组的间断有限元方法

习罗  
【摘要】:在二十一世纪初期,随着新的合成原理以及合成技术的快步发展,人们慢慢地构造出了一些自然界中根本不存在的复合材料,它们具有自然界中其他物质所不具备的一些特殊的性质与功能,而且这些性质与功能通常可以根据人们的实验需要进行调节,我们称这种人工材料为超常介质。自从超常介质被人们构造出来以后,大量的学术研究者对其产生了很大的兴趣,认为它们具有很高的研究价值和应用价值。近几年来,超常介质也渐渐地成为了很多学术领域(比如:光学、材料科学以及物理学等等)里面的研究热点。 针对于本论文研究的超常介质中波传播模型的Maxwell控制方程组,我们运用内部惩罚的间断有限元方法来进行处理和求解。相对于原始的有限元方法来说,间断有限元方法能够非常灵活地处理边界处的间断,而且对网格的正则性要求并不高。早在二十世纪七十年代,间断有限元方法就已经被科学家Reed和Hill首次提出,他们当初是在讨论中子输运方程而提出来的。在接下来的三四十年里,该方法经过众多学术研究者的改进并完善,慢慢地在许多的学术领域里面显示出了很好的应用价值。 到目前为止,有大量的学术研究者发表了很多关于利用间断有限元方法来研究简单介质下的Maxwell方程组方面的论文,这其中当然也有少部分的论文研究讨论了在超常介质中的Maxwell控制方程组。但是针对于模型问题的控制方程组的解析解的误差估计,却很少有论文研究过。在本论文中,我们考虑了超常介质中波传播模型的依赖于时间的Maxwell方程组,首先把控制方程组经过推导化简成为了只含有一个变量(Η磁场)的波传播基本方程,接着,我们考虑了内部惩罚的间断有限元方法的半离散DG格式来处理基本方程,然后采用后验误差估计的方法,经过详细的推导,我们最终得到了解析解Η与逼近解Η~h之间的误差估计。之后我们又考虑了间断有限元方法的全离散DG格式,采用先验误差估计的方法,也得到了最优的L~2范数‖·‖o的误差估计和能量范数‖·‖h的误差估计。


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