收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

全隐Runge-Kutta法的有效实现及其在偏微分方程时间离散化中的应用

李双贵  
【摘要】: 数值积分常微分方程初值问题 的s级Runge-Kutta公式的一般形式为 其中h>0是积分步长,a_(ij),b_j,c_j是实系数,满足 y_n是初值问题(1.1)的真解y(t)在点t_n=α+nh处的值 的逼近,g_i≈y(t_n+c_ih)(i=1,2,…s)是s个中间逼近。方法(1.2)可写 成更为紧凑的形式 这里A=[α_(ij)∈R~(s×s),b=[b_1,b_2…,bs]~T,e=[1,1,…,1]~T∈R~s,G= [g_1~T,g_2~T,…,g_s~T]~T,F(G)=[f(t_n+c_1h,g_1)~T,f(t_n+c_2h,g_2)~T,…,f(t_n+c_sh,g_s)~T]~T, I_m表示m×m单位矩阵,符号(?)表示Kronecker乘积。当Runge-Kutta 矩阵A为满矩阵时,方法称为全隐的。 本文首先致力于对各种不同类型的全隐Runge-Kutta法建立了统 一的有效实现途径,此前有Hairer等人仅就Radau ⅡA型Runge-Kutta 法的有效实现提出了具体方案。由于全隐Runge-Kutta法类型繁多, 我们的第一步工作就是要根据各种不同的类型和不同的阶计算方法 的系数。在本文中,我们详细地给出了文献中讨论较多的Guass型、 Radau ⅡA型、RadauⅠA型及 Lobatto ⅢC型方法的系数计算方案。 我们的第二步工作是通过相似变换将s级Runge-Kutta矩阵A对 角化: 这里 八=**g入,人,…;人)。*一*=*。工*,…;工*I,八5) ~,人…·,人及叫;幻,…,、分别是矩阵A的待征值和相应的特征向 量。对角化的目的是为以下将要进行的B帆dk变换作好准备。可 以证明对于上述各类RungeKutta法来说,矩阵A恒有s个两两互异 的特征值,且至少有一对共扼复特征值,因而上述对角化总是可行 的。这里,我们采用隐式位移的双重步QR算法和反乘幂法计算矩 阵A的全部特征值和特征向量。 第三步工作是给定计算起始值及各种必需的参数。为此令L。二 。,9。二几。-队适当取定初始步长h二ho,局部误差容限t*,并相应 地确定迭代误差容限t。h。此外还需要给出一些附加信息,以便根 据欲求解问题的性质及用户意见使下列各种功能自动切换:1.求 解常微分方程、微分代数方程或通过线方法求解偏微分方程初边值 问题;1.定步长定阶计算、自动变步长定阶计算或自动变步长自动 变阶计算;3.是否用图形显示计算结果;4是否用图形显示误差 分布状态;5.是正式计算或者是已有真解的数值试验;6.用高斯 消去法、带状矩阵消元法或者多重网格法求解线性方程组;7.所求 解问题的名称。 最后一步工作是在整个积分区间卜hi上,逐步积分欲求解的初 值问题(1、1)。这里最关键的问题是必须设计好计算一步的方法,最 主要的要求有两点。一是计算必须稳定可靠;二是在保证所需的计 算精度的前提下,要最大限度地减少计算工作量和存储量,节约计 算时间和存储空间。 为了从已知的背后值t。,9n出发按步长h计算一步而获得y听;, 首先需要求解隐式方程(1.3。).为了减少舍入误差的影响,我们令 Z=G—eyn, 将(1.引等价地写成 I 二=以A@几)八Z十印。),(1.6a) in。+;二 vn+ h(b”@ Im)F(Z+。v。),(1.00) 2 并记厂叫,{,…,fy.由于矩阵A是非奇异的,(I.肋)还可等价地 写成 yn+;=gn十(/③乙)z 、6b)’ 这里d=A{b.应用式(1.6b)’的好处是一方面避免了式(1.6b)中多个 右函数求值,从而减少了计算量,同时也避免了。;,勾,…,is由于通 过迭代求解所固有的误差被右函数中大的LipSChitZ常数大幅度放大 的不良后果。 求解非线性系统(1.6a)的简化牛顿迭代程序为 I(1一hA @*凸厂‘—一厂‘十人*@刀贝厂‘+e蜘L *7。) I 厂‘十‘=梦十八护k二0,1,2….几乃】 这里矿叫”,{,…;水厂是通过k次牛顿迭代所得到的Z的逼近, 凸产-卜主.凸ig”…·,八if丫。J二的(Ln,9。)。每迭代一次需要求解一 个。m维的线性方程组及s次右函数求值。由于在迭代过程中矩阵 (I-hA @ J)保持不变,用 G。。叫去法求解时仅需要对其进行一次 LU-分解,但当s和。较大时其计算量仍是十分巨大的。 u叩年,ht山a利用队刁式中矩阵1-h人③J的待殊结构,提 出


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 夏宁茂;随机微分方程特征值期望的上界估计[J];华东理工大学学报;1986年01期
2 林芳;有偏差变元的四阶线性微分方程的解的振动性[J];北京服装学院学报(自然科学版);1988年02期
3 崔宝同;程远纪;;二阶非线性微分方程的振动性定理[J];河南师范大学学报(自然科学版);1989年04期
4 彭晓林;;关于一类非线性微分方程的稳定性向题[J];新疆大学学报(自然科学版);1989年02期
5 王益姝;;微分方程初值问题的收敛性[J];青岛大学学报(工程技术版);1991年02期
6 张建文;李庆仕;张建国;;一类非线性摄动微分方程的振荡定理[J];太原理工大学学报;1992年01期
7 朱宝安;;微分方程问题双边不等式数学规划解法的进展[J];中国科学基金;1992年03期
8 宋伟;赵德信;呼文来;;散斑法测量膨胀系数与温度的关系[J];应用激光;1993年02期
9 林祖森;;平面薄曲杆无伸长弯曲微分方程[J];中北大学学报;1993年02期
10 寿楠椿;江素华;竹学叶;;变分法在建立弹性力学方程中的应用[J];河南科学;1995年S1期
11 何东武;实微分方程的复解法[J];锦州师范学院学报(自然科学版);2001年03期
12 王亚光;偏微分方程——经典数学与现代数学的相互交融[J];世界科学;2001年07期
13 苏淑华,蔡文娱;一个微分方程的多种解法[J];吉林化工学院学报;2005年02期
14 ;西北工业大学高等数学试题(2005-2006学年第二学期)[J];高等数学研究;2007年03期
15 魏明彬;;常微分方程与曲线性质[J];四川教育学院学报;2007年06期
16 林珊华;陈俊凡;吴桂荣;;k(≥)2阶齐次线性微分方程的复振荡[J];福建师范大学学报(自然科学版);2007年05期
17 李静;;级数的一些巧妙应用[J];宿州学院学报;2007年04期
18 徐俊峰;仪洪勋;;高阶线性微分方程解的角域增长性[J];系统科学与数学;2008年06期
19 龙艳;;二阶微分方程解的等价性[J];伊犁师范学院学报(自然科学版);2008年03期
20 许敏伟;吴炳华;;变量代换法在求解微分方程问题中的应用[J];徐州教育学院学报;2008年03期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 刘群;;基于小波变换的偏微分方程求解[A];第二届全国信息获取与处理学术会议论文集[C];2004年
2 潘留仙;;利用能量函数处理物理问题[A];数学·物理·力学·高新技术研究进展(一九九六·第六期)——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第6届学术研讨会论文集[C];1996年
3 侯建荣;黄培清;;基于Ito随机微分方程的客户群变动模型分析[A];2004年中国管理科学学术会议论文集[C];2004年
4 李泽慧;原俊青;;养老保险的随机赔偿模型[A];加入WTO和中国科技与可持续发展——挑战与机遇、责任和对策(上册)[C];2002年
5 来宝屏;;浅谈图书馆员继续教育的有效实现[A];和谐社会中的图书馆建设与发展——陕西省图书馆学会第六次科学讨论会论文集[C];2007年
6 李琼;曹进德;;一类具有多个滞量的微分方程的周期解[A];数学·物理·力学·高新技术研究进展(一九九六·第六期)——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第6届学术研讨会论文集[C];1996年
7 张喜德;邓志恒;徐德新;;钢与混凝土连续组合梁弹性性能分析[A];第六届全国结构工程学术会议论文集(第二卷)[C];1997年
8 崔向照;杨大地;唐奎;;汽车限速路面的一种设计方法[A];2003中国控制与决策学术年会论文集[C];2003年
9 杜耀星;;用加权余量法求圆环径向位移的近似方程[A];第六届全国结构工程学术会议论文集(第一卷)[C];1997年
10 梅凤翔;吴惠彬;尚玫;张永发;;微分方程的力学化与求解[A];数学·力学·物理学·高新技术研究进展——2006(11)卷——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第11届学术研讨会论文集[C];2006年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 夏治南;微分方程的加权伪几乎自守性及其应用[D];东北师范大学;2012年
2 张海;退化时滞微分方程的解、稳定性及控制问题[D];安徽大学;2010年
3 程志波;微分方程若干问题的研究[D];郑州大学;2012年
4 陈安平;非线性分数微分方程的定性研究[D];湘潭大学;2011年
5 李连忠;几类微分(积分)方程解的动力学性质[D];曲阜师范大学;2011年
6 Abdul Wasim Shaikh;微分方程的一些数值迭代解法[D];浙江大学;2006年
7 覃婷婷;几类随机与延迟动力学系统的单步离散方法[D];华中科技大学;2010年
8 顾晓东;基于偏微分方程的图像几何处理方法[D];大连理工大学;2003年
9 李成福;非线性分数微分方程边值问题解的存在性[D];湘潭大学;2010年
10 高峰;代数函数逼近及其在微分方程数值解中的应用[D];大连理工大学;2004年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 李双贵;全隐Runge-Kutta法的有效实现及其在偏微分方程时间离散化中的应用[D];湘潭大学;2001年
2 江秀海;关于复微分方程及相关问题的一些研究[D];暨南大学;2006年
3 胡云峰;一类三阶时滞微分方程边值问题正确解的存在性[D];吉林大学;2008年
4 刘洋;三类微分方程边值问题解、正解和伪对称正解的存在性[D];延边大学;2008年
5 颜意梅;两类二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性[D];湖南师范大学;2010年
6 江良英;某些整函数系数微分方程解的复振荡理论[D];江西师范大学;2005年
7 赵静;二阶泛函微分方程解的有界性与平方可积性[D];曲阜师范大学;2005年
8 徐秀荣;交替型脉冲微分系统的解及其稳定性、振动性[D];安徽大学;2005年
9 廖肇源;样条函数在微分方程数值解中的若干应用[D];大连理工大学;2006年
10 黄李韦;Painlevé性质及其判别方法[D];吉林大学;2006年
中国重要报纸全文数据库 前10条
1 本报特派记者 韩凤凤;抬高环保准入门槛是有效实现宏观调控的重要手段[N];中国建材报;2005年
2 周慧明陈西艳;让企业有效实现“低成本”通关[N];北方经济时报;2008年
3 贵阳市人大制度工作研究会供稿;中外专家汇集贵阳 探讨人大监督权的有效实现[N];贵阳日报;2004年
4 莫纪宏;公民知情权的有效实现[N];工人日报;2000年
5 人行德清县支行 郭挺;电子商务时代——央行如何有效实现监管[N];上海金融报;2000年
6 孙小礼;微分方程定性理论的诞生[N];学习时报;2007年
7 见习记者 张志敏;第七届全国微分方程稳定性学术会议在运召开[N];运城日报;2007年
8 陕西广播电视大学安康分校 刘玲;浅谈图书馆员继续教育的有效实现[N];安康日报;2008年
9 韩金保;一举破解世界难题[N];中国矿业报;2003年
10 萧晓;净化消费环境可有效实现人们即期需求[N];中国信息报;2002年
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978