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基于四边形剖分的最小二乘混合有限元的超收敛性研究

张满平  
【摘要】: 近年来,最小二乘混合有限元方法得到了越来越广泛的关注。本文的主要工作就是研究了对称的和非对称的两类椭圆边值问题的最小二乘混合有限元方法,分别讨论了上述两类问题离散格式解的存在唯一性,并利用投影算子得到了压力于Guass点、速度沿Gauss线上的整体超收敛结果。文章主要内容如下: 在第一节的前言部分,我们介绍了混合有限元方法的优越性和它存在的不足以及最小二乘混合有限元方法的优点,回顾了已有的有关这两种方法的超收敛性研究的工作和成果,说明本文准备做的具体工作,同时也给出了一些预备知识和主要记号。 第二节和第三节是本文的主体部分,分别讨论了一类对称椭圆问题和一类非对称椭圆问题的最小二乘混合有限元方法;采用强正规四边形剖分,对压力使用k阶多项式逼近,对速度使用r阶Raviart-Thomas空间逼近,证明了相应于原问题的离散问题的解的存在唯一性;利用L~2-投影和混合有限元投影以及林群院士等学者提出的积分恒等式的技巧,得到了插值投影和最小二乘混合有限元解之间的超收敛结果。它具有O(h~(r+2))的精度,而当采用r阶的Raviart-Thomas元所得到的最优阶误差估计精度为O(h~(r+1))。 作者在第四节中给出了一些数值算例,针对模型问题在不同的条件下进行了数值实验,所得到的结果与文中的理论结果完全一致。 最后,我们总结了本文的工作,并提出展望。


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