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椭圆问题最小二乘混合有限元方法的超收敛性研究

杨菊娥  
【摘要】: 近年来,最小二乘混合有限元方法引起了国内外学者的广泛兴 趣。本文的主要工作就是研究椭圆边值问题的最小二乘混合有限元 方法,通过引进投影算子和对偶问题进行收敛性分析,最后得到了 超收敛结果。 本文分为两部分。第一部分的目的是研究基于三角形剖分的最小 二乘混合有限元方法的超收敛性。作者首先导出了最小二乘混合元 方法的等价变分形式,并且证明了变分问题广义解的存在唯一性;在 此基础上,我们采用强一致三角形剖分,选取最低阶的Raviar-Thomas 空间对未知函数的通量进行逼近,利用L~2投影和Raviart-Thomas投 影,得到了插值投影和最小二乘混合元解之间的超收敛结果。 本文的第二部分首先简单回顾了标准有限元方法和经典的混合 有限元方法,然后引进一种新范数,介绍了在这种范数意义下的最 小二乘混合有限元方法。针对模型问题,我们引进对偶问题进行收 敛性分析,最小二乘混合元解u_h与标准有限元解比较,而p_h则与 通常意义下的混合元解比较,结果证明在比较弱的正则性假设条件 下,最小二乘混合有限元解u_h,p_h标准有限元解u_h~s和混合元解p_h~m 的高阶扰动。这个结果不仅改善了解的先验估计,而且还表明了超 收敛结果的相互延拓性。 文章最后,作者总结了本文的工作和结合已有的工作得到了一 般性的结论,并对超收敛问题提出了展望。


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