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几类Volterra泛函微方程数值方法的稳定性分析

余越昕  
【摘要】:泛函微分方程(FDEs)在自动控制、生物学、医学、化学、人口学、经济学等众多领域有着广泛应用,其理论和算法研究具有无可置疑的重要性,近三十年来,Volterra泛函微分方程(VFDEs),特别是其重要子类——延迟微分方程(DDEs)的算法理论研究得到了众多学者的高度关注,取得了大量研究成果.例如在DDEs数值方法线性稳定性研究领域,Barwell、Watanabe、Zennaro、Spijker、in’t Hout、Bellen、Jackiewicz、刘明珠、匡蛟勋、田红炯、张诚坚及胡广大等人作了大量工作,其中主要成果可参见Bellen和Zennaro及匡蛟勋的专著;DDEs数值方法非线性稳定性研究始于1989年Torelli及1992年Bellen和Zennaro的工作,1999年,黄乘明、李寿佛等人在BIT发表的论文指出Torelli稳定性是一个仅有极少数低阶方法才能满足的过于苛刻的概念,并提出了一个新的更为合理的稳定性概念,在此基础上,使得DDEs数值方法非线性稳定性研究得以蓬勃发展。尽管当时的研究仍局限于常延迟、等步长、线性插值及负的Lipschitz常数,但研究对象几乎遍及包括线性多步法和Runge-Kutta方法在内的一切常用算法,获得了大量新的数值稳定性结果。VFDEs数值方法的基于经典Lipschitz条件的收敛性研究已获得大量成果,例如可参见李寿佛1997年的专著,关于DDEs数值方法的经典收敛性研究可参见Oberle、Pesch、Bellen、Zennaro、Tavernini、Arndt、Enright、Feldstein、Neves、Karoui、Vaillancourt、Baker和Paul等人的工作。然而这些收敛性理论仅适用于非刚性问题,不适用于刚性问题。非线性刚性DDEs数值方法的收敛性研究始于张诚坚等人1997的工作,他们提出了Runge-Kutta方法的D-收敛概念,并证明了若干隐式Runge-Kutta方法能满足这一要求。其后,黄乘明等人从他们提出的新的更为合理的数值稳定性概念出发,获得了关于隐式Runge-Kutta方法和一般线性方法的大量D-收敛性结果,近年来,李寿佛在《中国科学》等刊物上发表一系列论文,进一步建立了一般的非线性刚性VFDEs的稳定性理论及其数值方法(包括Runge-Kutta方法和一般线性方法)的B-稳定性与B-收敛性理论,后者统称为数值方法的B-理论,可视为Dahlquist、Butcher、Frank及李寿佛等人所建立的刚性常微分方程数值方法的B-理论的进一步推广,应当指出,这里所建立的新理论比文献中已有的理


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