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几类最优控制问题的混合元方法及超收敛研究

邢小青  
【摘要】: 关于偏微分方程的最优控制问题已有大量的工作.目前,已经有很多数值方法可以用来解决最优控制问题.在现有的文献中,大多是采用标准有限元来研究最优控制问题,而关于混合有限元方法的理论分析非常少见.但对于某些问题,混合有限元方法有着不可替代的优势.例如在求解流体控制问题时,利用混合有限元求解,可以同时对压力和速度得到相同精度的逼近解,提高了离散解的精度.因此,研究最优控制问题的混合有限元方法具有重大的理论意义和应用价值.本文中,我们将研究几类最优控制问题混合有限元方法的误差估计及超收敛性质. 本文可分为两部分.在第一部分,我们研究了椭圆型最优控制问题.我们采用的基本方法是利用变分原理得到问题的最优性条件,即将一个求泛函极小的问题转化为状态方程,伴随状态方程和一个变分不等式三者的联立系统.对于求得的最优性条件,我们采用混合有限元方法进行离散,即分别对状态变量(标量及向量)和控制变量采用不同的有限元空间进行逼近.对状态变量及其梯度,我们采用Raviart-Thomas混合有限元空间来逼近,对控制变量采用分片多项式空间来逼近.首先,对障碍型约束集的最优控制问题,在目标泛函为二次泛函和一般凸泛函的情况下,我们分别研究了其混合有限元方法的最大模误差估计.值得一提的是,在这一部分的理论分析中,针对控制变量的低正则性,我们引入了特殊的投影算子,利用得到的最优性条件,找到控制变量和对偶状态变量之间的关系,将对控制变量的估计转化为对对偶状态变量的估计.我们证明了对状态变量,对偶状态变量及控制变量,它们的精确解与其逼近解之间的误差在最大模意义下均是收敛的.接着,基于J.Douglas关于椭圆混合有限元方法的误差估计,我们仅仅针对目标泛函为二次泛函的情形,对一类具有特殊约束集—积分型约束集的最优控制问题进行了先验误差估计.我们得到了真解与其逼近解在L~2范数下的丰满阶收敛性,最后,我们给出一些数值算例来验证得到的理论结果. 在第二部分,我们研究了抛物型最优控制问题.对于抛物方程混合元方法的先验误差,V.Thomée等人已进行了一定的研究,但其并未涉及最优控制问题.因此,我们首先研究了这一问题混合有限元方法的误差估计.接着,我们分析了矩形剖分下抛物型最优控制问题的超收敛性质.这一部分的难点在于如何利用目标泛函的凸性和连续可微性来处理误差变分不等式,并且对于任意控制集中的函数,我们需要引入一些与此相关的可作为中间变量的状态函数和伴随状态函数,将误差分为几部分来考虑.最后,我们证明了状态变量,对偶状态变量和控制变量的投影与其有限元逼近解之间均存在O(h 3/2)的超收敛.


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