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块对角占优矩阵的性质与判定及其应用

朱砾  
【摘要】: 对角占优矩阵类是数值代数、经济学、控制论和矩阵论本身等领域中受到许多科研工作者关注的课题,在工程技术等方面也有许多应用,探讨这些矩阵类的性质具有重要的理论价值和实际意义。随着计算机技术的发展和普及,分块技术在矩阵理论的研究中得到了广泛的应用,分块特殊矩阵特别是块对角占优矩阵在许多计算和工程等实际问题的研究中有着非常重要的作用,如欧拉方程数值求解中出现的线性系统的块迭代法的收敛性问题,以及动力系统的研究等。国内外一些学者对块对角占优矩阵的性质、判定方法以及收敛的块迭代算法等方面的研究,已取得了一些很有价值的成果。 本文研究矩阵范数下的块对角占优矩阵类和正定条件下的块对角占优矩阵类的性质和判定方法。所获主要结果如下: (1)利用矩阵Kronecker积的范数的性质,讨论了几种矩阵范数下的几类块对角占优矩阵的乘积的性质,得到了几类块对角占优矩阵的Khatri-Rao积仍保持其原有的块对角占优性质。 (2)通过构造低阶特殊矩阵的方法,结合Schur补与块对角占优矩阵的性质,探讨块对角占优矩阵及其Schur补的数值特征,特征值分布,行列式估计。研究Ⅰ(Ⅱ)-型块严格(双)对角占优矩阵Schur补的对角占优性,得到了Ⅰ(Ⅱ)-型块严格(双)对角占优矩阵Schur补的每一块行的对角占优程度优于原矩阵的相应块行的对角占优程度,用原矩阵表述Ⅰ(Ⅱ)-型块严格对角占优矩阵Schur补的特征值的圆盘定理,进一步,得到了Ⅰ(Ⅱ)-型块严格(双)对角占优矩阵的特征值分布与行列式的估计。 (3)利用矩阵的连续过渡、子矩阵的谱半径估计等方法,研究了正定条件下广义M-矩阵与广义H-矩阵的一些判定方法、性质、特殊积,及在块迭代算法中的一些应用,探讨了不同的块对角占优矩阵的关系。当块矩阵退化成点矩阵时,这些判定方法即为M-矩阵与H-矩阵的判别法,为广义对角占优矩阵类的判定开辟了新的途径。


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