基于CVT网格的有限元超收敛及其在自适应有限元方法中的应用

【摘要】：在有限元超收敛及其应用研究中,有两个很基本、同时也是很具有挑战性的问题:其一是如何在任意复杂的区域上全自动生成高质量的网格,使得有限元解在节点上具有超收敛性;其二是在任意区域自动生成具有超收敛重构梯度特性的网格,并将其应用于自适应有限元方法中,且使得自适应网格依旧具有超收敛特性,从而保证整个自适应有限元过程的收敛性。基于以上两点,本文主要做了如下两部分工作。 第一部分,由于正三角形网格上有限元具有强超收敛现象,但在实际问题中不太可能得到正三角形的网格剖分,于是我们利用基于Centroidal Voronoi Tessellation(CVT)的网格生成技术,获得了几乎等边三角形的网格剖分,大量的数值实验证实:在任意给定的二维区域,基于CVT的网格剖分上,泊松方程第一边值问题在线性有限元空间上的解在节点上具有超收敛的现象,其收敛阶达到了O(h~2+α)(α≈0.5),而在其它非CVT结构的网格剖分上不具有这种超收敛的特性,这是首次发现在几乎等边三角形网格剖分节点上有限元函数值的超收敛现象。 第二部分,受到CVT网格具有优良特性的启示,将其应用于自适应有限元方法中。首先分析了几种基于超收敛梯度重构型的后验误差估计,接着探讨了基于后验误差估计的网格快速自适应修正,主要内容有超收敛导数重构对网格剖分的要求,基于误差均布原则的网格尺寸修改,和基于规范边长度的网格重分,最后进行关键的CVT优化。在CVT优化过程中,采用了局部化思想,摒弃了传统的全局迭代方式。在算法迭代的过程当中,随着收敛误差的越来越小,于是直接采用网格节点对应的Voronoi区域的质心代替该节点,并且进行局部的网格修改来保持网格的Delaunay特征。这种局部化思想避免了新计算出来的Voronoi区域的质心整体插入,从而很大程度地提高了算法效率,并且产生出高质量的网格剖分。对于任意给定的二维复杂求解域,将上述方法运用到椭圆型第一边值问题的自适应线限元求解中。由于采用了CVT优化技术,使得网格的稀密程度能更好的适应解的性态,同时由于网格的高质量使得重构的梯度尽可能地保持了超收敛性质,即提供了渐进准确的后验误差估计,这样确保了椭圆型边值问题的整个自适应过程足收敛的,并且提供了高精度的数值解。大量数值实验充分证实了这个算法是有效的和鲁棒的。本方法能够很好地推广到三维问题和随时间变化的方展方程,其在大规模科学与工程计算当中必将有很好的应用价值。