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几类泛函微分与差分方程的收敛性

易学军  
【摘要】:本文对几类具有广泛应用背景的非线性泛函微分方程模型的收敛性进行了研究,讨论了这些泛函微分方程或其对应的差分方程所产生动力系统模型有界解的收敛性,反周期解和概周期解的存在性与全局指数稳定性.全文的内容共分为七章. 在第一章中,我们首先简单回顾了由Bernfeld与Haddock猜测所引出的几类泛函微分方程与其对应的差分方程模型的发展历史及其研究现状,分析了高阶Hopfield神经网络(HHNNs)模型所对应的泛函微分方程的收敛性研究现状,并分析了一类具偏差变元的三阶非线性微分方程反周期解,概周期解的研究背景与现状,给出了本学位论文的研究内容及其研究方法.在第二章中,从Bernfeld-Haddock猜测(1976)中的一个方程出发,我们提出了 类很广泛时滞微分方程所对应的动力系统模型,并指出它的实际意义.在一定附加条件(比局部Lipschitz条件弱)下,我们首先分析系统的保序性质,以及ω-极限集与某常函数的关系,由此利用单调技术推出了该系统的收敛性质.所获得的结果不仅改进推广了已有文献的相应结果,还为Bernfeld-Haddock猜测(1976)提供了一个简明、合理并且有力新颖的证明方法. 在第三章中,针对Haddock(1987)所提出的猜测,我们提出了较前人更为广泛的高维中立型方程或系统.首先我们研究了此类系统的保序性质,并分析获得了ω-极限集中全轨与某常数函数的精细保序关系.借助这一结果,我们运用数学分析方法建立了此类方程的收敛性,所得结果改进和推广已有的对Haddock猜测(1987)进行研究的工作,并对Haddoock猜测(1987)给出了一个有力的论证. 在第四章中,我们分析了三维Bernfeld-Haddock猜测中泛函微分方程对应的离散化系统的收敛性.一般来讲,我们能得到连续系统较好的保序性质,但由于缺少连续性和ω-极限集连通性,这就给离散系统的研究带来了一定的困难,反过来这也表明有研究它们的必要.实际上我们在较好的保序条件下,通过对第二章所提供的方法的改造与发展来建立了离散化系统的收敛性.这也揭示了三维Bernfeld-Haddock猜测(1976)的离散化推广形式仍然是正确的.此外,这些结果改进和推广了已有文献中的结论. 在第五章中,我们利用微分不等式及其相关的数学分析技巧,研究了高阶的Hopfield神经网络(HHNNs)模型和一类时滞递归神经网络(RNNs)模型解的收敛性.在放弃已有文献对这些模型中信号函数所要求的Lipschitz条件,以及连接权值的概周期或周期性的条件的前提下,我们获得了HHNNs和RNNs模型所有解都收敛到平衡点的新结论. 在第六章和第七章中,我们研究了一类具偏差变元的三阶非线性微分方程反周期解,概周期解的存在性与指数稳定性,通过利用不动点理论和新的不等式技巧,获得了该方程反周期解,概周期解的存在性与指数稳定性的新结论,所获得的结果在较大程度上改进和推广了已有文献的结论.


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