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微纳米结构非线性静动力学分析及其应用

张进  
【摘要】:目前,微纳米尺度实验证实微纳米结构的力学性能存在尺寸效应,传统力学理论的本构关系中不包含任何与尺度相关的参数,不能够描述和解释力学性能的尺寸效应现象。因此,发展和完善能够解释和描述微纳米结构尺寸效应现象的理论和模型就显得至关重要。修正偶应力理论,通过在其本构关系中引入具有长度量纲的参数来考虑应变梯度的影响,能够描述和解释微米构件力学性能的尺寸效应现象。而考虑表面能效应时的纳米结构则能够描述和解释纳米构件力学性能的尺寸效应现象。本文基于修正偶应力理论或表面能模型建立了考虑了尺度效应的黏弹性/弹性梁、板模型,并将其分别应用于微纳米机电、酵母菌细胞及微管的静力稳定性的研究。基于一阶剪切黏弹性壳模型给出了酵母菌的静力学控制方程,研究了酵母菌细胞内组织压力对酵母菌静力稳定性的影响。 基于Euler-Bernoulli梁假设,首先建立了同时考虑结构几何非线性及表面能效应时纳米梁的动力学控制方程。之后通过采用Galerkin方法及增量谐波平衡方法研究了纳米梁非线性自由振动。从数值算例中可看出,考虑表面能效应时所获得的纳米梁的线性自由振动频率要大于未考虑表面能时所对应的值,因此在本文中表面能效应将会增大纳米结构的整体刚度。最后采用相似等式法研究了表面能效应对纳米梁的坍塌行为的影响,数值算例表明表面能效应将会有增大电载荷作用下纳米梁的坍塌电压及坍塌时间。 基于Hamilton原理、黏弹性理论、Euler-Bernoulli梁假设及标准固体材料模型建立了基于修正偶应力理论的黏弹性微梁的动力学控制方程。从控制方程中可看出材料特征尺度参数不仅影响结构的当前状态还影响结构的历史状态。之后将这个修正的黏弹性梁模型运用于电载荷作用微梁的坍塌失稳研究,并在研究中考虑了由中面轴向拉伸效应产生的轴力作用。采用Galerkin方法及四阶定步长Runge-Kutta算法对控制方程进行数值求解。算例表明无论对于持久坍塌电压和瞬时坍塌电压,其值均随着微梁材料特征参数的增加而增加,且微梁的延迟坍塌时间随微梁材料特征参数的增加而增加。 基于修正偶应力理论研究了微板的非线性自由振动行为。首先基于修正偶应力理论,采用Hamilton原理给出了弹性微板的非线性动力学控制方程及相应的定解条件。当忽略控制方程中的非线性项的影响之后,研究了微板材料特征尺度参数对微板线性自由振动基频的影响,发现微板线性自由振动基频随材料特征尺度参数的增加而增加。之后采用Galerkin法及增量谐波平衡法研究了材料本征尺度参数对微板的非线性自由振动的影响,从算例中可看出微板材料的特征尺寸参数对微板的非线性自由振动有明显的影响。 基于修正偶应力理论建立了考虑了尺度效应的黏弹性Timoskenko梁模型,基于这个新的黏弹性Timoshenko梁模型并考虑结构变形中体积变化时,给出了酵母菌细胞的屈曲控制方程。定义了细胞的初始屈曲临界载荷,持久屈曲临界载荷及延迟失稳等概念,讨论了横向剪切,组织压力及材料本征尺度参数对它们的影响。数值结果表明,无论是对于初始屈曲临界载荷还是持久屈曲临界载荷,Euler梁所得结果均大于相应的Timoshenko梁所得结果,且细胞体积变化作用将会使得初始屈曲临界载荷还是持久屈曲临界载荷增大。细胞的初始屈曲临界载荷和持久屈曲临界载荷均随着材料的特征尺寸参数的增大而增大。当细胞发生屈曲后,讨论了材料的特征尺寸参数及体积变化作用对屈曲幅值的影响。数值结果表明,细胞的稳态屈曲幅值随着材料的特征尺寸参数的增大而减小。 基于考虑了结构的横向剪切变形及组织压力的壳模型,研究了酵母菌细胞的蠕变屈曲行为。首先采用Laplace变换得到相空间内的屈曲临界载荷,之后采用Bellman数值逆变换得到相应物理空间内的屈曲临界载荷。定义了细胞的初始屈曲临界载荷,持久屈曲临界载荷及延迟失稳等概念,之后讨论了横向剪切及组织压力对它们的影响。数值算例表明,随着轴向屈曲波数的增加,横向剪切作用的影响越发明显。当轴向屈曲波数较小时,组织压力对初始屈曲临界载荷及持久屈曲临界载荷有着很明显的影响。 最后,给出基于修正偶应力理论的Timoshenko梁模型,并将其运用于微管的静力学研究中。数值算例中讨论了微管的横向剪切变形作用及微管结构的尺寸效应对微管的持续长度,屈曲增长率及屈曲幅值的影响。数值算例表明,与非局部弹性理论所得结果不同的是,对于不同的特征尺寸参数,微管结构所对应的稳态持续长度常数也不同。此外随着特征尺寸参数的增加,微管屈曲波数的变化范围将随之减小直至消失。对于一给定的屈曲波数,微管的屈曲幅值随着特征尺寸参数的增加而减小。


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