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秩约束下几类特殊矩阵方程最小二乘问题及其最佳逼近问题

王菊香  
【摘要】:约束矩阵方程在振动理论、网络规划、系统工程、土木规划、统计学、经济学和图象学等领域均有广泛应用.本文研究了矩阵方程AX=B在秩约束下的(反)Hermite和(反)Hermite P自反最小二乘问题及其最佳逼近问题,得到了秩约束下矩阵方程AX=B的最小二乘解的通式及其最佳逼近解的表达式.本篇硕士学位论文研究了如下五个问题:问题Ⅰ给定A∈Cm×n,B∈Cm×n,正整数s1,令S1={X|X∈HCn×n,‖AX-B‖=min‖AY-B‖},求m1=min rank(X), M1=maxrank(X),及Ss1={X|rank(X)=s1, X∈S1}.问题Ⅱ给定A∈Cm×n,B∈Cm×n,正整数s2令S2={X|X∈AHCn×n,‖AX-B‖=min‖AY-B‖}, 求m2=min rank(X),M2=maxrank(X),及Ss2={X|rank(X)=s2,X∈S2}.问题Ⅲ给定A∈Cm×n, B∈Cm×n,正整数s3,令S3={X|X∈HCn×n(P),‖AX-B‖=min‖AY-B‖}, 求m3=min rank(X), M3=maxrank(X),及Ss3={X|rank(X)=s3, X∈S3}.问题Ⅳ给定A∈Cm×n, B∈Cm×n,正整数s4,令S4={X|X∈AHCn×n(P),‖AX-B‖=min‖AY-B‖},求:m4=min rank(X), M4=maxrank(X),及Ss4={X|rank(X)=s4, X∈S4}.问题Ⅴ给定X*∈Cn×n,分别求X∈Smi(i=1,2,3,4),使得X-X*‖=min‖X-X*‖.其中,||·||是矩阵的Frobenius范数. 对于以上问题,本文利用投影定理,把讨论秩约束下的不相容矩阵方程的最小二乘问题转化为讨论秩约束下的相容矩阵方程解的问题,通过矩阵的奇异值分解和块高斯变换法,给出了问题Ⅰ-Ⅳ的解.并且在问题Ⅰ-Ⅳ的最小秩解集Smi(i=1,2,3,4)的基础上,利用了酉矩阵对Frobenius范数的不变性和范数的基本性质,进一步得到了问题V解的表达式.


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