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B样条边界面法及边界积分方程中的等几何方法研究

谷金良  
【摘要】:B样条函数最初源自数学领域对逼近论的研究,它良好的数学性质及其强大的自由曲线曲面造型功能在CAD中得到了广泛应用并发挥着极其重要作用。之后提出的以有理分式表达的B样条,称作非均匀有理B样条(NURBS),克服了B样条不能精确表达规则二次曲面的缺陷,因而使其成为国际标准化组织定义产品形状的唯一数学方法。实质上,B样条或是NURBS灵活丰富造型功能是由其很多优良的数学性质所决定的,而这些性质,如:单位分解性,变差减小性和强凸包性等等,也是决定数值逼近算法近似精度和稳定性的重要因素。这里我们将其作为近似方法与边界积分方程相结合,在边界面法的框架下,提出采用B样条近似边界场量的B样条边界面法。更深入的,我们还利用B样条和NURBS进行几何建模与边界场量近似,发展了基于边界边界积分方程的等几何方法。 在边界积分方程中利用双变量B样条函数进行边界场量近似时,由于样条函数张量积的限制,在一些有奇异点(正则参数平面的边线映射到笛卡尔空间中的参数曲面时退化所成的点)的参数曲面,造成集中在奇异点处大量奇异和近奇异积分需要处理,这不但增加计算这些积分的开支,而且恶化了数值结果的精度,因而是很不可取的。为解决此问题,文中将提出一种局部形式的B样条(称作局部B样条),并给出双变量局部B样条和NURBS函数及其导数表达式。采用局部B样条近似边界场量,可以有效的避免参数曲面奇异点处大量奇异和近奇异积分计算,因而相比全局B样条近似在计算效率和精度上都会得到大大提高,文中将通过对三维势问题和静弹性问题的求解来验证这一点。为了更好显示B样条作为近似方法的优越性,文中还将在同一边界面框架中选取插值精度高的MLS函数进行边界场量近似来做比较,最终数值结果显示B样条近似比MLS近似具有更高的求解精度和更快的收敛速度。 为了实现CAD与CAE真正意义上的无缝连接(即采用真实CAD模型的几何信息进行分析以及自适应分析时CAE分析与CAD模型的交互仅需一次),文中将有限元领域提出的等几何方法创新性的与边界积分方程相结合,提出了基于边界积分方程的B样条等几何方法。由于该方法继承了求解边界积分方程的降维优势,在求解三维问题时,其几何模型可以采用B-rep(边界表征法)表征(即实体模型由B样条或NURBS曲面所围成),而且CAE分析时对边界场量进行近似也只需采用双变量B样条,相比有限元中的几何建模和场量近似都需三变量B样条函数,实现起来更加简单,网格划分更加容易。我们对此编写了相应程序用于对三维势问题和静弹性问题的求解,数值结果将验证算法的精度和稳定性。值得说明的是,我们还将双变量局部B样条函数用于等几何方法框架中对边界场量进行近似,数值结果显示局部B样条较传统的全局B样条具有更高的精度和计算效率。 为了在边界面法和等几何方法框架下求解更加复杂工程问题,这里选择了在工程中广泛使用的焊接结构。要实现对真实焊接结构的CAE分析,必须建立起十分接近真实焊接结构的焊缝模型,而模拟真实焊缝建模模块在CAD软件都不具有。出于上述考虑,作者基于UG二次开发平台利用C++语言开发了一套B样条模拟真实焊缝的建模模块。该模块在UG中以菜单响应方式调用,为后续对焊接结构进行CAE分析创造了模型条件。


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