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常数磁场薛定鄂算子的调和分析问题

邓浏睿  
【摘要】:随着Schrodinger算子理论的发展,调和分析在研究其中的很多问题中起到越来越重要的作用。2006年,B.Simon(Schrodinger operators in the twentieth cen-tury)在总结二十世纪Schrodinger算子的研究进展时指出,与Schrodinger算子的现代理论最紧密相关的数学是泛函分析、调和分析和复分析。经典调和分析在一定的意义上可以看作是与Laplace算子紧密相关的数学理论,与Schrodinger相关的调和分析问题的研究,是对经典调和分析理论的进一步的发展,成为现代数学领域的一个热门的研究方向。 本文充分结合了谱理论和经典调和分析的方法,在已有结论的基础上,对常数磁场Schrodinger算子相关的一些调和分析问题进行了深入的研究。本文主要分为以下几个部分。 第一章是本文的绪论,主要介绍了Schrodinger算子的理论产生的背景,与该算子相关的调和分析问题研究的简要发展历程,以及磁场Schrodinger算子的研究发展状况。 第二章研究常数磁场Schrodinger算子的Marcinkiewicz谱乘子的Lp有界光滑性条件,其中p在2的附近。研究谱乘子的基本工具是,根据常数磁场Schrodinger算子的谱表示,利用谱展开的Reisz平均构造两个Littlewood-Paley g-函数,应用谱投影算子限制性定理,对这两个g-函数Lp有界与求和指标β之间的关系给出精细的刻画。并利用得到的结果,在H.Dappa工作的基础上,给出了常数磁场Schrodinger算子的谱乘子的Marcinkiewicz准则。 在第三章中,我们讨论与常数磁场Schrodinger算子谱展开的Riesz平均的几乎处处收敛性问题。对有关Laplace算子,Hermite算子等有所研究,对于常数磁场Schrodinger算子并没有这方面的研究。我们通过建立一类g-函数的L2估计,获得相应的极大函数的估计,从而得到求和指标β0时,Riesz平均在L2中是几乎处处收敛的。当0β(n一1)/2时,我们通过对紧支乘子的加权L2估计得到了Riesz平均在Lp(2≤p2n/n-12β)中的几乎处处收敛性。这个结论与经典的傅里叶积分的结论相似。 在第四章,我们研究与常数磁场Schrodinger算子相关的Hardy空间。对于卷积核相关的Hardy空间以及扭曲卷积核相关的Hardy空间已经有了充分的研究,并且都已经得到了很好的结果。但是这种卷积和扭曲卷积混合的热核相关的Hardy空间还没有被研究过,因此这种探索也是一个新的尝试。我们得到其Hardy空间的原子分解,这些原子其消失条件与对应的扭曲平移相关。并引入一类Heisenberg型群,用与之对应的热核相关的极大函数来等价地刻画群上的Hardy空间,通过讨论磁场Hardy空间与群上的Hardy空间两者之间的关系,我们得到了常数磁场Hardy空间的Riesz变换的特征。 本文第五章主要研究多参数的、沿曲面的、带粗糙核的奇异积分算子在Lp上的有界性问题。当核函数球面部分属于L(1og+L)ε(Sm-1×Sn-1)(ε=1或2),在乘积空间中沿着一个超曲面的奇异积分算子及其相应的Marcinkiewicz算子是Lp上有界的算子。问题的研究归结为一个低维的极大函数的估计。这里的光滑性条件几乎是最优的。 最后,我们总结本文得到的主要成果,并且着重介绍了科研成果中的创新性结论和创新性方法。还对常数磁场Schrodinger算子今后的研究工作做出了进一步的展望与设想。


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