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二维球面几何动量研究

唐量辉  
【摘要】:曲面上运动粒子的量子力学本来是较为沉寂的研究领域,尽管有很多问题并没有最后答案,学界也不太关心。由于纳米科技的快速发展,必须面对如何处理碳60分子中的电子运动等问题,建立起这样一个理论体系就势在必行。物理学界重新审视这个问题,很快有两个发现,第一个是原来一些零散的研究有内在的联系;第二就是狄拉克的约束体系量子力学是一个基本框架,不过需要完善。 几何动量算符是为了描述曲面上运动粒子的量子运动而提出的新的基本物理量,最初的发现独立于狄拉克的约束体系量子力学,后来发现它满足该理论。当没有约束时,几何动量回复到动量的通常形式。几何动量算符是量子力学中的一项具有基本意义的发现。 在量子力学中,一个力学量具有观测上的意义的判据是,它具有谱表示。也就是,它的本征值为实数,而本征函数构成完备集。对于二维球面,几何动量算符有x,y, z方向共三个。本论文主要研究这三个算符本征谱、本征函数及其相互关系。研究内容分为如下四部分。 第一,通过解偏微分方程,直接求解动量算符本征值方程。发现三个算符本征本征值都是连续的实数,三个本征函数都是函数归一化。有趣的是,x和y方向几何动量的本征函数的归一化因子包含任意的函数因子。 第二,为了弄清楚这三个几何动量算符之间的关系,我们研究了转动下几何动量的相互关系。详细计算表明,它们的确是转动意义下的矢量算符,也就是,通过坐标旋转,这三个分量相互等价。 第三,原则上,通过幺正变换可以把三个算符本征值相互联系起来,但是运算起来非常不容易。不过,可以通过简单的坐标变换,就可以完成这个任务。结果发现,x和y方向几何动量的本征函数的归一化因子中包含任意的函数因子会自然出现。 第四,球面上几何动量算符的本征函数可以通过变换转化为平面波的形式。这种发现的意义是,存在一种球面映射为平面新途径。 总之,仅就二维球面而言,几何动量算符具有完美的数学意义。在物理上,是可观测量。


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