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弹性动力学问题的时域边界面法

李源  
【摘要】:弹性动力学在工程技术的众多领域如航空航天、汽车设计、机械加工、建筑工程以及地震勘探等方面都有着广泛的应用。弹性动力学问题在数学上归结为求解一组偏微分方程的初值或初值-边值问题。对于实际工程中的复杂结构,难以利用解析方法进行精确求解。随着计算机辅助工程(CAE)技术的不断发展,弹性动力学问题的数值解法在工程结构设计和分析中发挥着日益重要的作用。CAE分析中具有代表性的两种数值分析方法为有限单元法(FEM)和边界单元法(BEM)。其中以FEM的应用最为广泛,BEM则具有将问题维数降低一维、计算精度高、适合求解无限域问题和奇异性问题等优势。然而这两种方法都需要单独生成一个离散化的网格模型才能进行分析,存在着计算机辅助设计(CAD)几何模型和CAE分析模型不一致的问题。边界面法是基于边界积分方程(BIE)和计算机图形学的一种新的边界类型数值方法,它继承了BEM的所有优势,同时又能够克服几何模型和分析模型不一致的问题。边界面法直接基于CAD实体造型系统中的边界表征数据结构实现其网格离散及单元积分,积分过程使用到的几何数据直接由参数曲面计算获得,而不是通过分段多项式插值近似,从而能够避免传统数值分析方法中的几何误差,有利于实现CAD/CAE分析的一体化。本文基于边界面法实现了弹性动力学问题的数值求解,主要研究工作和成果如下:(1)采用基于时域基本解的BIE和边界面法,实现了零初始条件下三维瞬态弹性动力学问题的求解。本文首先使用时间步法将BIE中的时间变量进行了离散和解析积分,给出了线性插值形式下基本解和时间形函数的乘积在时间积分后的具体形式;然后利用边界面法将BIE中的空间变量进行了离散和数值积分,并分别采用坐标变换法和刚体位移法消除了弹性动力学问题基本解中的弱奇异性和强奇异性。最终基于UG二次开发平台编程实现了零初始条件下三维瞬态弹性动力学问题的求解。(2)提出了一种与时间相关的奇异单元细分技术,提高了弹性动力学问题数值求解算法中奇异积分的精度。由于弹性动力学问题基本解的特殊性质,本文根据该问题中核函数的图像以及波传播的物理现象,提出了一种新的与时间相关的奇异单元细分方法,该方法不仅考虑了源点在单元中的位置,而且考虑了波动前沿的位置。数值算例表明该方法能够有效提高奇异积分的精度。(3)研究了时域法数值结果不稳定的原因,对比总结出了比较理想的一种改进方案。当时间步长过小时,时域法的结果可能出现不稳定现象。本文首先从多个方面分析了产生不稳定现象的原因,然后根据大量文献总结出了三类有效的改进方案:时间步长伸缩法、采用更为平滑的时域基本解方法和卷积数值积分法,研究了三种方法与传统时域法的不同,并在原有程序的基础上分别编程实现了这三种改进方案。最后通过经典的数值算例对比了三种改进方案的计算精度和稳定性,发现卷积数值积分法结果的稳定性最高,因此本文将结合卷积数值积分法来实现弹性动力问题的时域边界面法求解。(4)推导出了一种适用于三维弹性动力学问题的虚拟力法,解决了时域边界积分方程中非零初始条件项的计算,将该方法与拟初始条件法相结合,降低了时域边界面法中系数矩阵的计算时间和存储量。本文首先基于虚拟力法的思想,将三维弹性动力学问题中的初始条件转换为等效的体积力来处理。该方法从控制方程出发,利用线弹性系统的叠加原理和动量定理,将原始控制方程转化为一个初始条件为零的新的控制方程,从而实现了任意初始条件下弹性动力学问题的求解。然后结合拟初始条件法,将整个分析时间划分为若干个时间段,将每个时间段末的动态响应作为下一段的初始条件,从而降低BIE中系数矩阵的个数。数值算例结果显示,当分析步较多时,拟初始条件法的应用能够有效减少计算时间和内存需求。(5)基于图形处理器(GPU)并行计算技术,实现了时域边界面法中单元积分的并行化,提高了程序的计算效率。在时域边界面法中,单元积分占用整个求解过程的大部分时间,同时这部分程序又具有很好的可并行性。本文使用基于统一计算架构(CUDA)的GPU并行计算方法,分别对边界单元和体单元积分中的正则积分、近奇异积分以及奇异积分,设计了相应的并行化方案。数值算例表明采用并行算法后,使用NVIDIA GTX680显卡,单个分析步时,对于节点个数为2万以上的计算模型,可以取得16~20倍的加速比,有效缩短了计算时间。


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