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几类非线性动力系统的Hopf分岔研究

蔡萍  
【摘要】:Hopf分岔是一类重要的动态分岔,Hopf分岔控制作为一个前沿研究课题,极具挑战性。本文研究几类非线性动力系统的Hopf分岔以及相关分析和控制问题,进而丰富和完善分岔的理论结果。讨论系统平衡点的动力学行为,给出系统产生Hopf分岔的条件,分析系统产生分岔的特性,并设计分岔控制器,提出控制方法,使系统产生所期望的动力学行为。重点研究系统Hopf分岔极限环振幅的控制,给出幅控关系,能够较为准确地预测幅值,实现了系统的Hopf分岔延迟控制和稳定性控制。设计了几种控制策略,每种控制方法都有其各自的特点,都能达到预期的控制目标。选取了几类典型的非线性动力系统作为例子进行讨论。首先综述了非线性控制理论、分岔控制、Hopf分岔控制以及混沌控制等的研究现状。介绍了非线性动力系统Hopf分岔的一些基本概念和分类,给出Hopf分岔定理和几种分岔控制方法,并引入几个常用的稳定性理论以及动力系统理论,为本文的研究作准备。利用一种改进的多尺度法求出了广义Van der Pol型强非线性振动系统的极限环振幅表达式。构造了几类线性、非线性反馈控制器,获得了其反馈系数与极限环振幅的近似解析关系。通过选择适当的反馈系数,可对极限环的振幅进行控制,讨论并比较了不同控制器的控制效果。数值模拟的结果验证了幅值预测的正确性与控制的有效性,且对较大的参数?,仍具有很高的精确度。讨论一类具有多个未知参数的混沌Van der Pol-Duffing系统的分岔与控制。利用Routh-Hurwitz判据分析了平衡点的稳定性,得到Hopf分岔的参数临界值。利用中心流形定理及规范型理论给出了分岔解的稳定性指标。在不改变分岔解的稳定性下,设计Washout filter线性控制器用于改变分岔值。在不改变分岔值的情形下,设计Washout filter非线性控制器用于控制系统极限环幅值。利用中心流形定理和规范型理论所得到的极限环振幅与控制增益之间的近似解析关系具有较高的精确度,预测可靠。数值模拟的结果验证了理论分析的正确性、控制的有效性以及幅值预测的可靠性。通过数值模拟出的最大李雅普诺夫指数图显示了一个新的混沌系统存在混沌吸引子。利用特征方程给出了系统产生Hopf分岔的条件;通过详细计算,得到系统的第一李雅普诺夫系数,由此来分析所产生的分岔解的稳定性。结果表明,新混沌系统的两个平衡点都能够发生非退化的超临界Hopf分岔,因此在平衡点能够分岔出稳定的周期解。数值模拟的结果与理论推导一致。讨论了Lü系统平衡点的非线性动力学性质,利用Routh-Hurwitz判据分析了平衡点的稳定性,得到Hopf分岔的参数临界值。利用中心流形定理及规范型理论给出了分岔解的稳定性指标。分别设计线性、非线性控制器从理论上实现了Hopf分岔的延迟控制及稳定性控制。数值模拟的结果进一步验证了理论分析的正确性与可行性。研究一个改进的超混沌Lü系统的Hopf分岔控制。提出一个状态反馈联合参数控制的混合控制策略,该控制策略不仅保持了原系统的平衡点结构不变,也没有增加原系统的维数。通过选择合适的控制参数,实现了系统Hopf分岔的延迟控制。通过规范型理论,分岔解的稳定性指标也进一步被求得。最后,给出两组参数进行数值模拟,验证了该控制策略的有效性。高维非线性系统的分岔控制比低维系统更加复杂,而本文提出的方法简单有效,因此,该方法对高维非线性系统的分岔控制是非常有意义的。


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