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边界面法中近奇异积分技术和单元插值方法的研究

林威承  
【摘要】:边界元法以其高精度、降维、自然地求解奇异性问题和无限域问题等特点,已被广泛应用于工程和科学问题的各个研究领域。但是,边界元法采用常规的拉格朗日单元近似几何变量和物理变量,显然会引入几何误差,从而降低计算精度。边界面法同样是以边界积分方程为理论基础,但直接在CAD模型上实施。因此,边界面法不仅继承了边界元法的所有优点,还避免了几何误差,从而自然地将CAE与CAD融为一体。在分析具有小特征或者薄型区域的结构时,边界面法仍需要使用较多的单元才能达到满足工程要求的计算精度,因此增加了计算成本。其主要原因如下:第一,该类结构中存在大量的奇异和近奇异积分,它们的计算精度将直接影响边界面法的性能;第二,常规拉格朗日单元的插值函数的阶次较低。本文致力于边界面法中奇异积分技术、近奇异积分技术和单元插值方法的研究,并应用于求解具有小特征和薄型区域的结构的位势问题、弹性问题和声学问题。本文的主要研究内容如下:(1)基于非线性变换法的近奇异积分技术的研究。根据源点到积分单元的最近点,提出了一种新的距离函数——最近距离函数。该距离函数统一了传统的法向距离函数和切向距离函数。基于该距离函数,提出了两种非线性变换公式。通过结合非线性变换法和单元细分法,提出了近弱/强奇异积分的解决方案。通过结合非线性变换法、单元细分法和虚边界元法,以及利用超奇异积分的性质,提出了近超奇异积分的解决方案。这两种方案已成功应用于计算接近度为10~(-14)的近弱/强/超奇异积分和求解薄型结构问题。(2)基于半解析法的近奇异积分技术的研究。提出了一种基于最近点的半解析法,并改进了以非线性变换法为核心的近奇异积分的解决方案。数值结果表明:与其它的近奇异积分方法相比,该算法具有更高的计算精度和计算效率。并且,该算法在一定程度上解决了非线性变换法存在的问题——当源点非常靠近积分单元时,积分子单元的数值积分值差距较大,因此产生数据舍入并导致计算误差增大。(3)基于无网格插值法的双层插值法的研究。采用改进的插值型移动最小二乘法建立双层插值法的第二层插值,开发了位势问题的双层插值法。该方法不仅统一了传统的连续和非连续单元,还提高了非连续单元插值函数的阶次,以及自然地模拟连续场函数和非连续场函数。基于双层插值法,开发了双层插值边界面法,并成功应用于求解具有小特征和薄型区域结构的二维稳态热传导问题。数值结果表明:与边界面法和有限元法相比,该算法具有更高的计算精度和效率,以及更快的收敛速度。(4)基于无网格插值法、单元插值和物理关系的双层插值法的研究。结合移动最小二乘法、单元插值和物理关系建立双层插值法的第二层插值,开发了一种新的双层插值法。这两种双层插值法的最大区别是:即使短边和小特征处只布置较少的单元,新的双层插值法仍然可以提高单元插值函数的阶次,从而确保双层插值边界面法的性能。基于该双层插值法,开发了弹性问题的双层插值边界面法,并成功应用于具有小特征和薄型区域的二维结构的应力分析。数值结果表明:与边界面法、(3)中的双层插值边界面法和有限元法相比,该算法具有更高的计算精度和计算效率,以及更快的收敛速度。并且,即使在小特征处布置相对粗糙的网格,该算法依然能准确地模拟该位置处的应力集中。(5)基于Burton-Miller方程的声学双层插值边界面法的研究。将双层插值法推广到声学问题,开发了声学问题的双层插值边界面法。本文采用Burton-Miller方程解决外声场问题中解的非唯一性问题。针对声学问题中核函数的振荡性,结合单元细分法和局部坐标变换法,开发了自适应奇异积分算法。该算法亦可应用于处理位势问题和弹性问题中的弱/强/超奇异积分。数值结果表明:声学双层插值边界面法适合于求解中频声场问题。(6)基于扩展单元插值法的边界面法的研究。开发了三维问题的扩展单元插值法,并成功应用于求解带有小特征结构的弹性问题。该方法采用单元插值和物理关系建立虚节点和源节点的关系。与基于移动最小二乘法的双层插值法不同,扩展单元插值法的主要优点是:无需判断每个插值方向上插值点的个数。因此,适用于求解具有狭长且非规则的裁减面的结构的问题。数值算例证实了该算法的有效性。


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