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随机认知混合不确定分析及在拓扑优化中的应用

郑静  
【摘要】:工程结构中不可避免地存在着各类不确定性,包括材料特性、边界条件和载荷等。传统随机不确定性分析方法基于概率理论,以已知变量的概率分布信息为前提。然而随机变量的概率分布需要基于大量的样本点来构建,在许多实际工程问题中,由于测试困难或成本限制,往往仅可知参数的变化区间,难以获得足够的实验样本以构建参数的精确概率分布。随着工程结构复杂性的不断提升以及我们对结构安全性设计要求的不断增长,工程人员往往会遇到一类更具一般性且更为复杂的随机-认知混合不确定性问题,既含有由概率分布描述的随机不确定参数,又含有由区间模型表示的认知不确定参数。开展随机-认知混合不确定性研究,对准确进行结构分析与设计具有重要意义。目前,在随机-认知混合不确定性分析研究领域尚存在一系列难点问题,为此本文将针对这些问题展开系统的研究,力求在结构混合不确定性分析及应用方面取得一定的探索性进展。首先,在结构可靠性分析方面,提出了一种考虑相关性的随机-区间混合可靠性分析方法;其次,在不确定性传播分析方面,为更好地协调计算效率与计算精度,基于正交多项式和降维策略分别提出了两种混合不确定性传播方法;另外,针对考虑混合不确定性的拓扑优化问题,提出了鲁棒性拓扑优化方法。基于此思路,本论文开展和完成了如下研究工作:(1)针对变量之间存在相关性的混合可靠性问题,提出了一种考虑相关性的随机-区间混合不确定性模型及结构可靠性分析方法。为方便有效地度量随机变量、随机-区间变量及区间变量之间的相关性,引入样本相关系数,将不同类型的不确定参数通过统一的相关性模型进行描述;通过仿射变换,将相关变量转换为仿射空间中的独立变量;在仿射空间中建立等效的随机-区间混合可靠性分析模型,并求解失效概率区间。(2)基于正交多项式和单变量降维方法分别提出了两种混合不确定性传播方法。在基于正交多项式的混合不确定性传播方法中,随机不确定性通过混沌多项式(polynomial chaos,PC)展开,区间不确定性通过切比雪夫多项式展开。引入双曲索引指标来控制正交多项式展开的项数,以避免因变量个数增加而导致的计算量指数增长。在基于降维策略的混合不确定性传播方法中,引入单变量降维积分计算随机响应矩,采用单变量区间降维方法计算响应矩区间,将原高维问题转化为一系列单维问题进行求解,在保证数值精度的同时提高计算效率。(3)针对考虑随机-区间混合不确定性的连续体结构,提出了一种基于水平集的鲁棒性拓扑优化方法。通过随机场描述已知概率分布的空间不确定参数,通过区间变量描述仅已知少量样本信息的有界不确定参数。采用Karhunen-Loève(KL)展开将随机场离散为一系列随机变量,从而原问题可转化为仅含随机变量和区间变量的混合不确定性问题,通过基于正交多项式的混合不确定性传播方法进行分析。构造了鲁棒性拓扑优化模型,其中鲁棒性目标函数定义为响应均值和标准差的线性组合。最后,推导了鲁棒性目标函数对于设计变量的灵敏度,并采用基于梯度的拓扑优化方法进行求解。(4)针对考虑随机-区间混合不确定性的结构-材料一体化设计问题,提出了一种鲁棒性拓扑优化方法。在结构-材料一体化设计模型中,宏观结构由周期性微结构单元构成。考虑随机-区间混合不确定性,基于参数化水平集方法建立了同时优化宏观结构和材料微结构的一体化鲁棒性拓扑优化模型。鲁棒性目标函数基于响应的区间均值和标准差定义,通过基于单变量降维策略的混合不确定性传播方法进行计算。最后,分别在宏观和微观两个尺度上推导了鲁棒性目标函数对于设计变量的灵敏度,并采用基于梯度的拓扑优化方法进行求解。


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