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基于证据理论的结构不确定性传播与反求方法研究

曹立雄  
【摘要】:在实际工程应用中,不确定性因素不可避免的存在于结构的设计、制造、运营及维护等各个阶段,主要由结构的几何尺寸、材料特性、安装和测量误差、边界条件及对工程问题所做的一些假设等引起。工程中的不确定性因素表现形式多种多样,并且在其影响下系统性能可能产生剧烈的波动,甚至失效的风险。因此,有效的度量和控制甚至缩减各种不确定性对实际工程结构的可靠性、稳健性及经济性具有十分重要的意义。目前,已存在概率论、区间模型、模糊集合和证据理论等多种不确定分析模型,其中证据理论通过离散的证据焦元可灵活地量化工程中信息量不足时的各种不确定性,从而被认为一种不确定性度量和分析较为理想的选择,具有非常可观的应用前景。然而,证据理论在工程结构中的研究和应用仍处于初级阶段,许多关键仍有待进一步解决,尤其是计算量的组合爆炸问题严重阻碍了证据理论在实际工程问题中的推广。本文以证据理论为研究对象,在计算效率、相关性度量和建模及反问题等方面展开了较为系统的研究,取得了一些创新性成果。具体研究工作如下:(1)提出了基于不确定域分析的证据理论不确定传播分析方法。传统证据理论传播分析中,因为需要对每个焦元进行极值分析,因此计算成本较大,并且由于焦元的离散特性,仅能采用可信度和似真度构成的概率区间对结果进行度量。针对该问题,通过系统的极限状态方程可以将焦元分析转化到不确定域中。通过划分子不确定域,可以构造一个多段、显式的极限状态方程。利用显式的多段极限状态方程可以准确的判断焦元甚至整个子不确定域与原事件域的归属情况,从而有效提升了计算效率。此外,由于极限状态方程的使用,对于部分属于事件域的焦元,通过求解近似体积比可获得焦元部分支持原命题的概率,进而可获得在可信度和似真度之间的一个明确的最大熵度量指标,为工程实际问题提供了一个明确的度量结果。(2)针对高维不确定涉及的组合爆炸问题,提出了基于边缘区间分析的证据理论不确定传播分析方法。首先,通过证据矩将原系统功能函数在证据变量均值中点处降维分解为单变量子函数的组合。因此,利用展开轴上边缘配置点处的响应可获得不确定域空间中的所有联合配置点处的响应,进而通过统计联合配置点处的响应便可快速的获取焦元响应极值。该方法可极大地减少中焦元极值分析中原系统功能函数的调用。在此基础上,又进一步推导出边缘区间分析方法,通过边缘配置点的响应可直接获取子函数边缘区间,进而通过各子函数边缘区间的区间运算,即可快速获取焦元的响应极值。从而克服了高维问题中后续的数值计算效率低下问题。通过算例分析可知,该边缘区间分析方法有效改善了高维问题证据传播分析的计算效率,并且由于边缘配置点处原函数的使用,该方法也具有较高的计算精度,从而有效扩展了证据理论在工程实际问题中的应用。(3)提出了度量证据相关性的超平行体的证据理论模型,以克服传统证据理论模型无法有效量化相关的不确定变量的问题。首先,通过提出证据相关系数的概念,构建了一个超平行体的识别框架来度量变量的不确定性和相关性。然后,在识别框架内进一步构建超平行体的联合焦元并进行基本概率分配。由于所构建的联合焦元形状一致、排列规律且都能体现与识别框架相同的证据相关性。因此,通过构建的超平行体的识别框架、超平行体的联合焦元及基本概率分配可形成一个统一的证据理论模型。在传播分析中,可通过构建该超平行体证据理论模型将带有相关变量的传播问题转化为独立变量的传播问题,进而采用现有的传播方法即可实现相关证据变量的不确定传播分析。该模型的提出完善了证据理论的理论体系,提高了工程实用性。(4)针对模型中存在不确定性的反问题,提出了高效的证据理论结构不确定反求方法。该方法从两个层面提升计算的效率,从而实现了证据逆向传播的高效求解。首先,该方法通过正向传播中的边缘区间分析方法将证据焦元的逆向传播转化为有限个不确定参数配置点下的确定性反求,从而大大减少了证据反求过程中确定性反求次数。其次,由于相邻配置点下不确定参数的微小变化,其对应确定性反求中系统方程具有相似性。基于此,又进一步发展了基于相似系统原理的确定反求方法,以减少了每次迭代过程中梯度矩阵的计算量,从而有效降低了正问题模型的调用次数。通过算例分析表明,在两个方法的组合效应下,该不确定反求方法可高效、准确地获得待识别参数的累积信度和累积似真度函数,实现结构不确定下待识别参数的反求。(5)针对测量响应中含有认知不确定的反问题,提出了一种基于证据理不确定反求方法。该方法根据测量响应的累积信度和累积似真度函数来识别未知参数的证据焦元结构。首先,根据测量响应的上下界,通过典型的区间反问题可确定待反求参数的证据框架。其次,通过添加线性约束,将证据结构的反求转化为焦元节点参数的反求,从而减少了待求解的结构参数,解耦了求解中的优化嵌套。最后,选择目标函数误差较小的焦元个数组合情况作为最优解,从而将此情况下反求的证据结构视为待识别参数的证据BPA结构。算例分析结果也表明,该方法反求所得证据焦元结构可有效表征因测量端的认知不确定引起输入端参数的不确定性。


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