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弹性力学求解体系研究

罗建辉  
【摘要】: 以微分形式与积分形式的等价和联系为基础,研究弹性力学的求解体系。研究侧重于揭示微分形式与积分形式的相互联系和对应关系。在本文的框架下研究与对偶向量体系有关的对偶向量、正交关系、板状弹性体等问题。本文共有9章。第一章对弹性力学求解研究进行综述。第二章研究3维弹性力学求解体系。第三章研究3维弹性理论分区变分原理。第四章研究薄板弹性弯曲理论的求解体系。第五章总结工程弹性力学的统一求解体系。第六章对涉及多个坐标方向的对偶向量的构造、对偶方程组及相应的变分原理的建立进行研究。第七章提出一种新的对偶向量形式和建立一种新的对偶微分矩阵,并研究正交关系。第八章研究1维力学和2维弹性力学问题的特征函数展开解法。第九章讨论板状物体3维弹性力学问题的求解。最后给出研究结论和展望。本文完成了下列有特色的工作: 1.比较系统地研究了弹性力学求解体系。证明了微分形式与积分形式的等价关系。在统一的构架下,导出了各种变分原理。提出了一种建立变分原理的新方法。使得建立变分原理的工作“定理化”、“规范化” 2.给出了工程弹性力学求解体系微分形式的统一描述。证明了工程弹性力学求解体系微分形式与积分形式的等价关系。提出了一个对于工程弹性力学普遍成立的积分恒等式。导出了工程弹性力学普遍适用的变分原理的统一表达式。 3.提出了应力张量与位移梯度张量的对偶关系。避免用时间坐标对一个坐标方向的模拟,将弹性力学求解新体系提出的对偶向量推广到多坐标方向。 4.提出了新的对偶向量形式和新的对偶微分矩阵。对于z方向材料正交的各向异性材料,发现了对偶向量体系的正交关系可以分解为2个独立的、对称的子正交关系,新的正交关系包含对偶向量体系的正交关系。对偶向量体系的正交关系是一个普遍成立的广义关系。但对偶向量体系的正交关系可以在z方向材料正交的各向异性的条件下以狭义的强形式出现。 5.与对偶向量体系采用零特征的解对应圣维南解不同,本文采用微分算子解法,将2维弹性力学的解进行分解。将圣维南解以及特解用以z为变量 n 博士学位论文 的常微分方程表示。揭示了梁的弯曲理论与弹性弯曲理论圣维南解的关系。 6.利用新的正交条件,对于条状区域2维弹性力学求解中的可对角化处 理的边界条件,求解衰减解积分常数的方程组可化为互不耦合的2元1次方程 组,实现了系数矩阵的对角化,求得了问题的解析解。对于不可对角化的边 界条件,求解衰减解积分常数的方程组不能解耦,但可以实现系数矩阵的对 称性。 7 采用偏微分方程的算子解法,对板状区域的弹性力学求解进行了研究。 构造了2个方向展开的对偶向量和对偶微分方程组。在板弹性弯曲理论中, 分离出了与零特征解对应的圣维南解关于X、y方向的偏微分方程,分析了薄 板弯曲理论与弹性弯曲理论圣维南解的关系。利用功互等定理,导出了板状 区域的正交关系。


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