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几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题

邓远北  
【摘要】: 无约束的和约束的矩阵方程及相应的最小二乘(L-S)问题在诸多方面有应用背景,引起科学家们的广泛兴趣。例如在粒子物理学和地质学,Sturm-Liouville逆问题,自动控制理论的逆问题,振动理论的逆问题,数码影象和信号处理,航空投影测量学,有限元及多维逼近问题等方面都有重要的作用。 设A,B,C,D为已知矩阵,Λ为对角矩阵,X,Y为未知矩阵,令 本文利用数值线性代数的系列工具——矩阵的奇异值分解(SVD),广义奇异值分解(GSVD),商奇异值分解(QSVD),标准相关分解(CCD),极分解(PD),矩阵的广义逆,向量拉直算子和Kronecker乘积,Hilbert空间中的对偶理论和逼近定理,线性流形等——解决了下列问题: 1.得到了逆特征值问题f_1(X)=0有可对称化解,可对称半正定化解,可对称正定化解的充分必要条件和解的通式,同时解决了解的最佳逼近问题。 2.得到了方程f_2(X)=0具有对称解,反对称解,半正定解的充分必要条件和解的表达式,并求出了L-S问题f_2(X)=min在对称矩阵类(SR~(m×m))、反对称矩阵类(AR~(m×m))和半正定矩阵类(R_0~(m×m))上解的通式。当解唯一时,我们给出了具体算法。 3.首次用CCD分解得到了方程f_2(X)=0在R~(m×m),SR~(m×m)和AR~(m×m)上解集合中的极小范数解。 4.得到了矩阵方程f_4(X)=0在SR~(m×m)上的极小范数解,同时导出了此方程具 有反对称解的充分必要条件和解的通式,解决了相应的L一S问题人(X)二min. 5.得到了广义Sylvester方程儿(X,Y)=0具有反对称最小二乘解的充分必要 条件和解的通式以及解的最佳逼近问题的解,导出了几(X,Y)二0具有置换对称解 的充分必要条件,解的通式及解的最佳逼近问题的解. 6.得到了广义Lyapunov方程人(X,Y)=o具有反对称解的充分必要条件,解 的通式及解的最佳逼近问题的解. 最后讨论了六类线性流形土矩阵方程儿(X)=O分别具有对称解,反对称解和 对称半正定解的条件,得到了方程和L一S问题解的通式,同时解决了解的最逼近 问题. 此博士论文得到国家自然科学基金的资助.


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