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环状神经网络模型的稳定性与分岔分析

郭上江  
【摘要】:本学位论文主要论述具自反馈和时滞的环状连接神经网络的稳定性和分岔,该网络具有on-center off-surround性质,并且能够通过李群来刻画它的对称性。这种网络出现在许多神经结构中,例如大脑皮层、小脑和海马之中,甚至于出现在化学和电力设计之中。通过研究环状神经网络可以了解循环网络的基本机理。毫无疑问,系统的信号传输的时间延迟和空间结构(指关于二面体群D_n作用下的不变性)所引起的无限维性质研究是一项很困难的任务。关于对称时滞微分方程中的周期解的存在性和全局持续存在性,现在已有一些一般性的理论。然而,将这些一般性的结果应用到具有on-center off-surround性质的具体系统中去,却包含着很多不平凡的的内容:(ⅰ) 特征方程通常是超越的并且依赖于参数的变化,很难分析它的零点分布;(ⅱ) 线性化系统所产生的连续半群的无穷小生成元的广义特征空间的对称性分析,以及将该广义特征空间与D_n的某两个恒同的绝对不可约表示的直和等同起来;(ⅲ) 在一般的Hopf分岔理论中,与通常的横截性条件相应的横越数的计算;(ⅳ) 周期解的范数以及周期的界估计。该论文主要研究内容如下: 第一,通过分析相应的超越特征方程来研究模型线性的稳定性。借助于空间分解,我们巧妙地讨论了特征方程零点的分布,并且导出保证所有的特征根具有负实部的一些充分条件,即使得该模型是渐近稳定的。 第二,借助于一般的Hopf分岔理论,我们获得分岔周期解和它的大范围存在性。利用正规型和中心流形的计算,我们推导了一些公式来判断环状连接神经网络模型分岔出的周期解的性质,例如Hopf分岔方向与稳定性等等。 第三,在某些适当的条件下,系统存在由纯量时滞微分方程所刻画的慢振动同步周期解。即使纯量时滞微分方程的慢振动周期解是稳定的,但是利用Floquet理论以及Krein-Rutmann定理,我们可以证明当系统足够大时,对应的慢振动同步周期解都是不稳定的。 第四,由时滞微分方程的对称分岔理论并结合二面体群的表示理论,我们不仅在模式形成上调查了信号传播的突触产生时滞的效果,而且获得了多个周期解分岔以及它们的空间模式(即,镜面反射波,驻波和离散波)等一些重要的结果。而且,我们分析分岔周期的稳定性。另外,我们证明了这些周期解的大范围存在性(即全局持续性),并且考虑这些周期解的重合性。


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