算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性

【摘要】：众所周知，调和分析一直是分析学的重要方向之一。随着调和分析理论的发展和逐步完善，它在偏微分方程、群表示论、数论等数学领域，以及信号处理、网络安全等工程领域中找到了广泛而深入的应用。这种应用的基本工具是函数空间和算子理论。 本篇论文主要致力于研究几类算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性以及局部紧的Vilenkin群上的Herz型Besov空间的分解和基本性质。我们的研究工作分为两个方面： 一方面，我们对Herz型Besov空间进行了原子分解。用一种统一的框架描述函数的光滑性态是函数空间研究的趋势。1976年，J．Peetre首先用Littlewood-Paley理论统一处理了Besov空间，而后用不同特征的原子和分子构造函数空间成为了继Littlewood-Paley理论之后新的发展方向。R~n上的一般函数空间都有其原子分解特征，一些作者将这些分解特征延至局部紧的Vilenkin群G上．C．W．Onneweer和苏唯宜就对G上的Besov空间给出了原子刻画。受他们工作的启发，作者在本篇论文的第一章首先引入了G上的Herz型Besov空间并对其进行原子分解。在这类空间中，将原有的Besov空间中函数范数定义中的L~p空间范数用Herz空间(?)范数所替代。我们定义新的Herz型Besov空间的范数，就会发现将空间中元素分解得到的级数的收敛会与α，p，q，β和s等多个指标发生关系。在分解时，我们假设原子α_(l，n)支在某个上，并且其尺寸大小满足，当然也满足消失矩条件这时若α=0，q=p，就有，这就说明C．W．Onneweer和苏唯宜做的G上的Besov空间的原子刻画是本文的一种特殊情况。与此同时，我们也对Herz型Besov空间的嵌入性质和提升性质做了初步的研究。 另一方面，算子的有界性是此篇论文的另一研究重点。作者在三、四、五、六章中讨论了某些次线性算子和奇异积分算子及其交换子在Herz型空间上的有界性。当次线性算子满足一定的尺寸条件时，可以证明它是Herz型Hardy空间到Herz空间的有界算子，或是Herz型Hardy空间上的有界算子。本文引入Herz型Besov空间的同时还引入了局部紧的Vilenkin群G上的Herz型Triebel-Lizorkin空间。在研究交换子的有界性时，作者给出了奇异积分算子的交换子在Hardy空间上的有界性以及从L~p空间到Triebel-Lizorkin空间(G)的有界性。进一步地，将算子的定义域限制在Herz空间上时，可以更准确地刻画其值域是Herz型Triebel-Lizorkin空间，这也说明了引入此类空间的意义。 在论文的最后一部分，研究双线性算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz 算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性 型空间上的有界性·若双线性算子”(大g，满足消失矩条件五”(f，。，(x，dx一” 当有关指标0Pl，P2兰co，1加二1加1+1加2，0ql，仇oo，q全1， l/q=l/ql+l/啪，一l/叭a‘1一l/峨，葱=1，2且a=al+a:时 侧f，。)是心“(G)x姗柳(G)到H心叹G)的有界算子.同样还获得了它从 H心，‘同xH嵘叫G)到H心，(G)的有界性.