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算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性

汤灿琴  
【摘要】:众所周知,调和分析一直是分析学的重要方向之一。随着调和分析理论的发展和逐步完善,它在偏微分方程、群表示论、数论等数学领域,以及信号处理、网络安全等工程领域中找到了广泛而深入的应用。这种应用的基本工具是函数空间和算子理论。 本篇论文主要致力于研究几类算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性以及局部紧的Vilenkin群上的Herz型Besov空间的分解和基本性质。我们的研究工作分为两个方面: 一方面,我们对Herz型Besov空间进行了原子分解。用一种统一的框架描述函数的光滑性态是函数空间研究的趋势。1976年,J.Peetre首先用Littlewood-Paley理论统一处理了Besov空间,而后用不同特征的原子和分子构造函数空间成为了继Littlewood-Paley理论之后新的发展方向。R~n上的一般函数空间都有其原子分解特征,一些作者将这些分解特征延至局部紧的Vilenkin群G上.C.W.Onneweer和苏唯宜就对G上的Besov空间给出了原子刻画。受他们工作的启发,作者在本篇论文的第一章首先引入了G上的Herz型Besov空间并对其进行原子分解。在这类空间中,将原有的Besov空间中函数范数定义中的L~p空间范数用Herz空间(?)范数所替代。我们定义新的Herz型Besov空间的范数,就会发现将空间中元素分解得到的级数的收敛会与α,p,q,β和s等多个指标发生关系。在分解时,我们假设原子α_(l,n)支在某个上,并且其尺寸大小满足,当然也满足消失矩条件这时若α=0,q=p,就有,这就说明C.W.Onneweer和苏唯宜做的G上的Besov空间的原子刻画是本文的一种特殊情况。与此同时,我们也对Herz型Besov空间的嵌入性质和提升性质做了初步的研究。 另一方面,算子的有界性是此篇论文的另一研究重点。作者在三、四、五、六章中讨论了某些次线性算子和奇异积分算子及其交换子在Herz型空间上的有界性。当次线性算子满足一定的尺寸条件时,可以证明它是Herz型Hardy空间到Herz空间的有界算子,或是Herz型Hardy空间上的有界算子。本文引入Herz型Besov空间的同时还引入了局部紧的Vilenkin群G上的Herz型Triebel-Lizorkin空间。在研究交换子的有界性时,作者给出了奇异积分算子的交换子在Hardy空间上的有界性以及从L~p空间到Triebel-Lizorkin空间(G)的有界性。进一步地,将算子的定义域限制在Herz空间上时,可以更准确地刻画其值域是Herz型Triebel-Lizorkin空间,这也说明了引入此类空间的意义。 在论文的最后一部分,研究双线性算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz 算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性 型空间上的有界性·若双线性算子”(大g,满足消失矩条件五”(f,。,(x,dx一” 当有关指标0Pl,P2兰co,1加二1加1+1加2,0ql,仇oo,q全1, l/q=l/ql+l/啪,一l/叭a‘1一l/峨,葱=1,2且a=al+a:时 侧f,。)是心“(G)x姗柳(G)到H心叹G)的有界算子.同样还获得了它从 H心,‘同xH嵘叫G)到H心,(G)的有界性.


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