接触碰撞问题的非线性无网格方法及在金属成型分析中的应用

【摘要】：第一章 引言 无网格方法是近年来兴起的一种新的数值方法。在无网格方法中，研究的问 题域由一系列的离散点组成，在进行仿真计算时，只需节点离散数据，而不 需要单元信息，只采用基于节点的近似，可以完全抛开网格，克服了有限元 法由于有网格的存在而难以方便处理大变形畸变问题、裂纹扩展问题等缺 陷。 在无网格方法中，典型的、具有代表性的有以下几种，它们是：(1)光滑质 点流体动力学法(Smooth Particle Hydrodynamics，SPH)；(2)模糊单元法(Diffuse Element Method,DEM)；(3)无网格伽辽金法(Element-Free Galerkin(EFG)Method)； (4)无网格局部伽辽金法(Meshless Local Petrov-Galerkin(MLPG)Method,)；(5)再 生核质点法(Reproducing Kernel Particle Method，RKPM)；(6)单位分解法(Partition of Unity Method，PUM)；(7)点插值法PIM(Point Interpolation Method)等等。 再生核质点RKPM法是Liu等人基于再生核(reproducing kernel)思想及小波 变换理论提出的一种无网格方法。采用窗口函数和傅立叶变换建立新的形函 数，由于窗口函数可以平移、缩放，可以应用于弹性、塑性和动力问题。本文 正是利用RKPM方法分析接触碰撞问题。 接触碰撞仿真问题的研究已经有很长的历史了。早期的接触体都是假定一 个为刚体另一个为简单的弹性体，分析主要集中于总接触力的计算。牛顿第三 定律及库伦定律用于计算接触界面的相互作用力。随着数值科学和工程应用的 发展，更精确的接触算法也应运而生。本文提出一种新的从点到面的接触算法 来处理无网格接触问题。接触力的计算用的是罚函数法。 积分格式在数值计算中非常重要，它关系到计算精度和CPU耗时。无网格 方法最大的缺点是计算时间长。本文提出一种新的积分法则：降阶高斯积分法 则，可以大大降低计算时间。 博士学位论文:摘要 在数值仿真中，公式及算法的验证也是非常重要的。本文通过提出一个具 有一般意义的E七n chn址甘ktest算法来验证本文中运用的降阶高斯积分方案及接 触算法在实际应用中的正确性及准确性，二维和三维问题都得到成功的验证。 第2章RRrM法的基本原理 RKpM方法是再生核质点法(斑犷oduc吨K治n岭1 Part记leM剧助d)的缩写。 同SPH方法一样，RKPM方法对变量域的近似也是采用积分的形式 ur(，)一工u(x)砚(x一y)方。不同于sPH法的是:吩M方法~‘函数中多出 了一个修正函数C(x，x一y)，即，砚(l一y)=C仁，x一y)丸(x一y)，修正函数是 通过施加再生条件获得的，可以精确的再生多项式。电(x一y)即K淤n姆l函数。 由于在构造形函数时施加了再生条件，RKPM法满足一致连续性，这一点是 SPH法缺乏的。因此RK卫M法可以看成是利用修正函数恢复连续性的SPH法。 类似其他无网格法，RKPM形函数利用离散质点建立插值函数。RKPM方法中 的原理及公式的推导在Liu现K，C址n工s，Lis.，Belytscbko等的论文中做了较 系统的论叙。在他们的工作的基础上，本章对K即叱l函数汽(l一y)及其支持 域，待定系数br(x)的计算等内容都做了详细的介绍和推导。在本文中，x表示 一点在t时刻的位置矢量，X表示材料粒子的初始位置矢量。 2.1 Ke.el函数及其支持域 问题域由一系列离散点卜:，xZ，…，x，}组成，x，是粒子I的位置矢量，N’P 是粒子的总数量。无网格法的一个共同的特征就是它们都含有权函数，也就是 K治n粗l函数。任何一种权函数都有一个集中域，在这个域里的函数值是非零 值，而集中域以外的函数值为零。这个集中域即前面所讲的支持域或影响域。 这里所讲的权函数在小波理论里也称窗函数。 120 通常使用的支持域为圆形(球形)或矩形(立方形)，如下图所示 (a)圆形 助矩形 图2.1支持域 上图中的支持域。;为问题域。的一个子域。 根据Monagh川(1 982)，权函数必须满足以下条件: a .bC‘d (2(2(2(2 1.牙(s)0 2.平(s)==. 在。:中(正值性) 不在。，中(紧凑性) J甲(s)‘一1，(合一性) O 不(s)为单调递减的函数，(递减性) 牙(s)峥6(s)，当峥0时 (2 .le) 8(s)即de、函数，:={巨二兰业 a即支持域的宽度。 常见的权函数有: 指数权函数二(s)一介一(’/a”，_黔‘1 口，当sl (2 .2a) 一{ 号一‘·’+‘·’，当·‘全 警一‘一‘一警·’，当合二‘， (2 .2b) 当s1 121 博士学位论文:摘要 四次方样条权函数二(·)·}i一‘·’+8·’一，·‘，肖·‘， LO，兰sl (2 .Ze) 2.2 RKPM中的Keruel近似形式 SpH方法是最早基于K图凹1近似的无网格方法。u(l)的近似形式是通过对 K日比吧1函数的积分得到的，即: u‘(x)一仲。(x一y)u份)方 口 ‘，____、1_，，}!x一y}}、止_，二‘__，。。__小二‘，~‘ ，七气x一y)二一尸又一J刀万J二1毋i幽资汉，W林F乙苗工、甲划花K胭如哭。 (2 .3) aa (2.3减的离散形式如下 召尸 u‘(x)二艺.。(x一x，)u(x，)成 I二t (2，4) 方程俘Ic)的积分形式能够保证零阶连续，然而恤wK氰1卯sc)和 氏加毗如氰1更场脂出它并不能保证2.4式的离散形式连续，因此也无法保证问 题的收敛性。为了解决这个问题，玩等人(l99阮)在K朗.1