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求解几类特殊的约束矩阵方程的理论与算法研究

孟纯军  
【摘要】:约束矩阵方程广泛应用于系统工程、自动控制、统计学、经济学、网络规划、 土木工程、振动理论等。本篇博士论文主要研究了以下几类约束矩阵方程问题以 及数值解法: 问题Ⅰ 给定矩阵A,B∈Rm×n,集合S(?)Rn×n,寻求X∈S,使得 ‖AX-B‖=min. 问题Ⅱ 给定矩阵X,B∈Rm×n,集合S(?)Rm×m,寻求A∈S,使得 AX=B. 问题Ⅲ 给定特征值矩阵A∈Rk×k,A为对角阵或二阶块对角矩阵,以及相 应的特征向量矩阵X∈Rn×k,集合S(?)Rn×n,寻求A∈S,使得 AX=XA. 或者 ‖AX-XA‖=min. 问题Ⅳ 给定矩阵A11∈Rm1×n1,A12∈Rm1×n2,A21∈Rm2×n1,m1+m2= n1+n2=n,以及矩阵集合S(?)Rn×n,寻求子块A22∈Rm2×n2,使得完全化的矩阵 问题Ⅴ 给定A*∈Rn×n,设SE为上述问题的解集合,寻求解矩阵A∈SE, 使得 本文的主要研究成果如下: 1. 本文研究了问题Ⅰ在闭凸锥上的一种新的数值解法。创造性地利用闭凸锥上 的逼近理论、凸分析理论研究了最小二乘解的特征,结合最优化理论,提出了 投影梯度算法,理论上证明了算法的全局收敛性和线性收敛性。对8种常见 的闭凸锥,系统地提供了MATLAB程序,使求解变得方便、容易。 2. 对于问题Ⅱ,首次研究了约束矩阵集合S分别为广义反射矩阵、反对称正交 矩阵、部分等距算子、正交投影算子的情况下矩阵反问题的解,克服了约束矩 阵集合均为有界闭集带来的困难,成功地得到了有解的条件,并研究了最小 二乘解,提供了算法、部分MATLAB程序以及相应的数值实例。 求解几类特殊的约束矩阵方程的理论与算法研究 3.对于问题Hl,我们研究了Hamilton矩阵约束下矩阵逆特征值问题的最小二 乘解,首次给出了MATIAB程序计算最小二乘解和最小范数解;研究了正交 矩阵约束下逆特征值问题有解的条件,和最佳逼近解的求法,给出相应的算法 和数值实例。 4.对于问题W,我们继续研究了可逆矩阵的完全化问题,首次得到了通解、 最小范数解和最佳逼近解;首次研究反对称可逆矩阵完全化约束下矩阵的最 佳逼近间题,提供了算法计算唯一最佳逼近解;首次提出并研究了正交投影 算子的完全化问题,得到了有解的条件,并首次与矩阵的秩联合起来考虑完全 化,成功地编制了M ATLAB程序计算具有任意给定秩的解。 5.我们继续研究了有界闭集、子空间和线性流形上的最佳逼近问题,给出了求 解的方法和数值算例。 本篇博士论文得到了国家自然科学基金的资助。 本篇博士论文用拌玫江2:软件打印. 关键词:闭凸锥;投影梯度法;最小二乘解;矩阵反问题;矩阵逆特征值问题;矩 阵完全化;最佳逼近. 了


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