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几类特殊矩阵的左,右逆特征对问题及其矩阵方程组问题

李范良  
【摘要】:约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。约束矩阵方程问题一直是计算数学的热门课题之一,有着广泛的应用背景。该问题主要来源于结构设计,系统识别,主成分分析,勘测,遥感,生物学,电学,固体力学,结构动力学,分子光谱学,自动控制理论,振动理论,循环理论等领域。本篇博士论文主要研究以下几个问题。 1.左,右逆特征对问题是一类特殊的逆特征值问题。它的一般描述是:给定矩阵的部分右特征对(λ_i,x_i),i=1,…,h,部分左特征对(μ_j,y_j),j=1,…,l,其中λ_i,μ_j为数,x_i,y_j为向量,一个矩阵集合S∈R~(n×n),求A∈S使左,右逆特征对问题常常来自于矩阵特征值扰动分析,循环事物等领域中,有很强的应用背景。本文分别研究了自反矩阵与反自反矩阵,可对称化矩阵,次对称矩阵与次反对称矩阵,广义Hamiltonian矩阵与广义反Hamiltonian矩阵的左右逆特征对问题及其最佳逼近问题,利用这些矩阵集合S中元素的特征值和特征向量的特殊性质,分别给出每一个问题一个合理的提法,从而得到问题有解的充要条件以及通解表达式,并且给出其唯一的最佳逼近解以及求最佳逼近解的算法与算例。 2.约束线性矩阵方程组问题:即给定矩阵A∈C~(h×n),B∈C~(h×m),C∈C~(m×l),D∈C~(n×l),一个矩阵集合S∈C~(n×m),求X∈S使本文系统地研究了矩阵方程组(AX=B,XC=D)的自反解与反自反解,广义自反解与广义反自反解,可对称化解,次对称解与次反对称解,广义Hamiltonian解与广义反Hamiltonian解,利用这些矩阵集合S中元素的特殊性质,分别找到矩阵方程组(AX=B,XC=D)在这些矩阵集合上的等价方程组或方程,从而得到问题有解的充要条件以及通解表达式,并且给出其唯一的最佳逼近解以及求最佳逼近解的算法与实例。 3.本文也研究了矩阵方程组(AX=B,XC=D)的最小二乘自反解与反自反解,最小二二乘广义自反解与广义反自反解,最小二乘次对称解与次反对称解,最小二乘广义Hamiltonian解与广义反Hamiltonian解及其最佳逼近解,利用这些矩阵集合S中矩阵的结构,通式表达式,性质以及F范数的酉不变性,正交不


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