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几类泛函微分方程的周期解

吴君  
【摘要】:本文利用几类非线性泛函分析方法,讨论了一类一般形式的捕食者-食饵模型,一阶和二阶时滞微分系统,一阶和二阶中立型泛函微分方程以及一阶和二阶中立型泛函微分系统,建立了方程或者系统的一个或多个周期解的存在性结论。全文共分六章,主要内容如下: 第一章,介绍了有关泛函微分方程的周期解的发展概况以及本文的主要工作。 第二章,研究了具有Michaelis-Menten型功能反应和储存项的时滞捕食者-食饵生物模型。利用连续性定理和一些分析技巧得到了其至少存在一个正周期解的充分条件。本章中所讨论的模型包含了多种特殊的具有Michaelis-Menten型功能反应项的捕食者-食饵生物模型,因此,我们的结果具有一般性。通过给出两个推论说明,本章的结论可以直接应用到一些特殊生物模型的周期解的存在性研究中。 第三章,首先介绍了Schaefer不动点定理的发展,主要经历三个阶段:Schaefer不动点定理,Burton和Kirk改进的Schaefer不动点定理以及Liu和Li改进的Schaefer不动点定理,然后利用Liu和Li改进的Schaefer不动点定理以及Burton和Kirk改进的Schaefer不动点定理分别考虑了一类一阶中立型泛函微分方程和一阶中立型泛函微分系统,获得了方程和系统具有一个周期解的充分性判据。据我们所知,本章的结果是首次利用分离压缩的Schaefer不动点定理得到的关于中立型泛函微分方程周期解存在性的结论。 第四章,讨论了两类依赖于参数的泛函微分系统,用锥上的Deimling不动点定理,证明了系统的正周期解的个数与参数的取值以及非线性项的渐近行为有关。首先研究了一类依赖于参数的具有反馈控制的非线性泛函微分系统,获得了系统存在一个正周期解以及两个正周期解的充分条件。再者,讨论了依赖于两个正参数的二阶半线性微分系统,建立了系统存在正周期解的结论,并且证明了存在二维平面中的连续曲线Г使得:对任意位于Г下方的点,系统至少具有一个正周期解;对任意Г上方的点,系统没有正周期解。关于二阶微分系统的结果,实际上是得到了二阶半线性微分系统的一个局部分支,但是用我们的方法比用分支理论得到分支要简单的多。据我们所知,这是用锥上的Deimling不动点定理得到二阶微分系统的分支的最早的工作。 第五章,用锥上的Deimling不动点定理分别讨论了依赖于参数的一阶中立型泛函微分方程和一阶中立型泛函微分系统,导出了一阶中立型泛函微分方程以及一阶中立型泛函微分系统存在两个正周期解,存在一个正周期解以及不存在正周期解的充分条件。当中立项是零时,我们获得的结果与已存在的相应结果一致。


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