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关于子矩阵约束下矩阵方程问题的研究

龚丽莎  
【摘要】:约束矩阵方程问题就是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题,它是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一,在结构设计,系统识别,结构动力学,自动控制理论,振动理论等领域都具有广泛的应用。当约束矩阵方程问题中对矩阵集合的约束条件包含了子矩阵约束时,则称之为子矩阵约束下的矩阵方程问题,也即:给定矩阵A的一个子矩阵A_0,再求关于A的某个约束矩阵方程的解的问题。本文所做的主要工作及相应的研究成果如下: 1.研究了子矩阵约束下矩阵方程AX=B的对称半正定解问题,得到了问题有解的充要条件及通解表达式,并顺便给出了相应逆特征值问题的有关结论。讨论了子矩阵约束下方程AX=B的对称、反对称最小二乘解及其最佳逼近问题。利用子空间理论和投影定理,将最小二乘问题转化为等式方程问题讨论,得到了通解表达式,并给出了其最佳逼近解以及求最佳逼近解的算法与算例。 2.提出并讨论了子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-Hamilton、Hermite-反Hamilton、反Hermite-Hamilton以及反Hermite-反Hamilton矩阵解的问题。通过对这几种矩阵结构性质的分析,利用矩阵的奇异值分解和广义奇异值分解方法,得到了问题有解的充要条件及通解表达式,并讨论了相应的最佳逼近问题,给出了最佳逼近解的表达式。 3.针对2中的几种矩阵,研究了子矩阵约束下方程AX=B的最小二乘解的问题。首先采用1中方法将最小二乘问题转化为等式方程问题。然后利用这几种矩阵的结构性质和矩阵的奇异值分解、广义奇异值分解方法,得到了问题的通解表达式。并讨论了相应的最佳逼近问题,给出了最佳逼近解的表达式。 4.提出并讨论了子矩阵约束下方程X~TAX=B的实矩阵、对称和反对称矩阵解的问题,得到了问题有解的充要条件及通解表达式,并讨论了相应的最佳逼近问题,给出了最佳逼近解的表达式以及求最佳逼近解的算法与算例。 5.研究了子矩阵约束下方程X~TAX=B的实矩阵、对称和反对称矩阵最小二乘解问题。仍然先将最小二乘问题转化为等式方程问题,接着利用矩阵的奇异值分解、广义奇异值分解方法,得到了问题的通解表达式,并给出了最佳逼近解以及求最佳逼近解的算法与算例。 此博士论文得到了国家自然科学基金的资助(10171031,10571047)。 此博士论文用L~AR_EX2_ε软件打印。


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