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几类特殊约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题

彭向阳  
【摘要】:约束矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解,不同的约束条件,不同的矩阵方程类型就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计,参数识别,主成分分析,勘测,遥感,生物学,电学,光学,固体力学,结构动力学,分子光谱学,自动控制理论,振动理论,循环理论,线性规划与非线性规划理论,有限元理论等领域都有重要应用,正是在这些领域中提出的许多不同类型的问题刺激了约束矩阵方程问题理论的快速发展,使得约束矩阵方程问题成为当今计算数学领域中最活跃、最热门的研究课题之一。 本文所研究的线性方程的约束问题实际上就是几类线性方程在几类矩阵空间上的解的存在问题、最佳逼近问题或最小二乘问题,它们主要是: 1.研究获得了矩阵方程A~TXA=B的广义(I,M)对称、广义(I,M)反对称、广义M对称、广义M反对称等四个约束矩阵问题的解的存在的充分必要条件、解的表达式及其最佳逼近问题的解、最小范数解,并作了数值计算,同时还获得了矩阵方程A~TXA=B的在这四个广义矩阵集合中的最小二乘问题的解、最小二乘最佳逼近解、最小范数最小二乘解等。研究结果表明,当矩阵M可逆或为列满秩时,这些矩阵方程A~TXA=B的广义对称或广义反对称问题就相应化为矩阵方程A~TXA=B的对称或反对称问题。 2.研究获得了矩阵方程A~TXA=B的Hermite自反、反Hermite自反、Hermite反自反、反Hermite反自反、广义M-Hermite、广义M-反Hermite等问题的解的存在的充分必要条件、解的表达式及其最佳逼近问题的解和最小范数解,并就广义M-Hermite最佳逼近解和最小范数解作了数值计算。 3.研究获得了方程A~TXB=C的正交对称、正交反对称问题的解存在的充分必要条件、解的表达式及其最佳逼近解、最小范数解;也获得了正交对称、正交反对称最小二乘问题的通解。 4.利用双奇异值分解方法,研究获得了矩阵方程A~TXB=C的自反与反自反问题的解存在的充分必要条件、通解表达式及其最佳逼近问题的解和最小范数解,并分别进行了数值计算。 全文研究获得了以上约束矩阵方程问题的结论。 此博士论文得到了国家自然科学基金项目资助(10171031;105710471)


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